Deje $R$ ser un anillo conmutativo con unidad. Deje $N$ es nilradical, que es el ideal que consta de todos los nil potentes elementos de $R$. Sabemos que $N$ es la intersección de todos los primer ideales de $R$. La prueba, aunque es comprensible, para mí carece de la intuición. Me preguntaba si alguien podría decirme por qué esto es cierto en una forma más intuitiva?
Gracias.
Creo que hay una intuición de lo que viene a partir de la geometría algebraica, que yo no sé nada acerca de rigor, pero va como esto:
Variedades en $\mathbb{C}$ o un algebraicamente cerrado de campo se puede poner en correspondencia con los radicales ideales. Esta correspondencia también se invierte el subconjunto de la orden, lo que significa que el más grande ideal es, menor es su variedad es. Este es el contenido de Hilbert Nullstellensatz teorema, supongo. Por lo tanto, un diccionario entre el lenguaje de la geometría y el álgebra conmutativa ha sido dada a nosotros por Hilbert.
En este lenguaje, un alojamiento ideal es una variedad (porque el primer ideales son radicales) que es indecomposable. Un ideal maximal es como un punto. Intersección de ideales se traduce en unión de sus variedades. Por lo tanto, creo que su teorema dice que, en un sentido, sobre la descomposición de una variedad en una unión de indecomposable sub-variedades.
Una pregunta relacionada es esta pregunta en el MSE, que es sobre el caso al $R$ es Noetherian y por lo tanto, tenemos una restricción sobre el ascendente de las cadenas de ideales en el anillo, que en nuestro idioma se traduce como un descendiente de restricción en las correspondientes variedades. Se dice que todos los radicales ideal de un Noetherian anillo es la intersección de un número finito de primer ideales que es intuitivamente cerca de lo que podemos esperar de este algebro-lenguaje geométrico.
Recordar la correspondencia que $I$ es un alojamiento ideal si y sólo si $R/I$ es un dominio — un anillo sin divisores de cero.
Brevemente...
Si $R$ ya es un dominio, entonces para cualquier elemento distinto de cero $r$ existe un ideal maximal que no contengan $r$.
Podemos pensar en el problema como tratando de "arreglar" un divisor de cero por tomar un cociente en el que el elemento ya no es un divisor de cero.
Por lo tanto, si $r$ es un divisor de cero en un anillo de $R$, la solución es buscar en las ecuaciones donde $rs = 0$ y establezca $s=0$ (es decir, mod por un ideal generado por la congruencia). Finalmente, se llega a un cociente de anillo donde uno tiene que $r$ no es un divisor de cero o que $r$ es cero.
La manera más obvia en que $r$ estaría obligado a ser cero después de este procedimiento es al $r$ es nilpotent. El teorema es que esta resulta ser la única excepción.
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