Ideal $I$ de un conmutativa unital anillo de $R$ se llama descomponible si tiene un principal de descomposición.
Me puede dar un ejemplo de un ideal que no es descomponible? En todos los ejemplos que puedo pensar son degradables. Gracias.
Respuesta
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Cero ideal en $C[0,1]$ no es descomponible.
De manera más general,
Si $X$ es un infinito compacto Hausdorff espacio a continuación, el cero ideal de $C(X$), el anillo de los verdaderos valores de funciones continuas en $X$ no es descomponible.
Prueba : en Primer lugar tengamos en cuenta que cada ideal maximal de a $C(X)$ es de la forma $M_x=\lbrace f \in C(X) : f(x)=0\rbrace$, para algunas de las $x \in X$. Tenga en cuenta que, si el cero ideal de $C(X)$ fueron descomponible, entonces no sería sólo un número finito de un mínimo de primer ideales de C(X). Este sin duda suena extraño, ya que cada ideal maximal $M_x$ $C(X)$ contiene un mínimo el primer ideal como todo ideal maximal es también el primer ideal. Por lo tanto, para mostrar que el cero ideal de $C(X)$ no es descomponible es suficiente para demostrar que si $x\not= y\in X$, a continuación, cualquiera de los dos mínimos primer ideales $P_1\subseteq M_x, P_2\subseteq M_y$ son diferentes: Desde $X$ es Hausdorff y normal, no es un conjunto abierto $U$ tal que $x\in U$$y\not\in\overline{U}$. Por Urysohn del lexema hay$ f,g\in C(X)$ tal que $f(U) = 0, f(y) = 1, g(x) = 1,$$g(X \setminus U) = 0.$$fg = 0$. Por lo tanto, $fg \in P_1$ pero $g \not\in P_1$, debido a $g(x)\not=0$, por lo tanto $f \in P_1$. Pero $f \not\in P_2$, debido a $f(y)\not=0$. Por lo tanto $P_1\not=P_2$.
