Considere la posibilidad de un suave ecuación diferencial en el avión $$ x'=g(x,y),\quad y'=h(x,y). $$ Supongamos que existe una función de $D(x,y)$ tal que $$ (Dg)_x+(Dh)_y=0. $$ A continuación, $D$ es un factor de integración y el sistema es integrable.
Una búsqueda rápida de "integrable sistema" en Google devuelve resultados no satisfactorios.
Alguien podría explicar lo de la última frase en el argumento por encima de los medios?
[Añadido:] La pregunta está motivada por la lectura de un documento sobre la Bendixson-Dulac Teorema. En particular,
$$ g(x,y)=ax+bx^2+cxy,\quad h(x,y)=dy+exy+fy^2 $$
y $D(x,y)=x^ry^s$ algunos $r,s$.
[Añadido:] hice esta pregunta en MO. No entiendo, sin embargo, no es una respuesta allí:
$X=g\partial_x + h\partial_y$ es el campo vectorial cuyas líneas de flujo se quería.
$\omega=hdx - gdy$ es una 1-forma con el núcleo de la duración de $X$.
También se $D\omega$ ha kernel el lapso de $X$ para cualquier función de $D$ que no se desvanecen en cualquier lugar. Si $d(D\omega)=0$ (este es su condición), a continuación, $D\omega$ es un cerrado de 1-forma, lo exacto, simplemente conjuntos conectados. Por lo $D\omega = dF$ para una función $F$ que puede ser fácilmente calculada por las integrales de línea. Por lo tanto la quería que las líneas de flujo están contenidos en los conjuntos de nivel de $F$.
Finalmente, la dependencia del tiempo de que el flujo tiene que ser calculada extra.Realmente apreciaría si alguien pudiera explicar lo que la respuesta de los medios (de una manera más "elemental" camino) aquí.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El sistema $x'=gD$, $y'=hD$ tiene la misma solución de curvas como el sistema de $x'=g$, $y'=h$, dado que el vector de velocidad de campo $(gD,hD)$ es paralelo (en cada punto) para el campo de vectores $(g,h)$. (Pero las soluciones a los dos sistemas de seguir estos la solución de curvas con diferentes velocidades.)
Ahora, si su condición de $(-hD)_y=(gD)_x$ está satisfecho, entonces existe una función de $F(x,y)$ tal que $$ F_x=-hD ,\quad F_y=gD . $$ (Recordemos que la condición para que un sistema de la forma $F_x=a$, $F_y=b$ para tener una solución es el de la igualdad de la mezcla de derivados, $(F_x)_y=(F_y)_x$, es decir, $a_y=b_x$. Esto es siempre necesario, y es suficiente si el dominio es simplemente conectado.)
Esta función $F$ va a ser una constante de movimiento del sistema $x'=gD$, $y'=hD$. En otras palabras, tienen la propiedad de que es constante en la solución de las curvas de $(x(t),y(t))$, como es fácil de comprobar la utilización de la regla de la cadena: $$ \frac{d}{dt}F(x(t),y(t)) = \frac{\partial F}{\partial x} \, \frac{dx}{dt} + \frac{\partial F}{\partial y} \, \frac{dy}{dt} = F_x gD + F_y gD = F_x F_y + F_y (-F_x) = 0 . $$ Si conocemos $F$, entonces sabemos que sus curvas de nivel, y por lo tanto sabemos que la solución de las curvas del sistema $x'=gD$, $y'=hD$, y (como hemos señalado al principio) estas son también las curvas solución del sistema original $x'=g$, $y'=h$. En este sentido, el sistema es "integrable"; tiene una constante de movimiento (también llamada "primera integral"). Mediante la integración de las ecuaciones $F_x=-hD$, $F_y=gD$ (pasando de los derivados de la $F$ $F$sí), podemos resolver nuestros Odas geométricamente en el sentido de que sabemos cuál es la solución las curvas de aspecto.
(Sin embargo, todavía hay algunos más cálculos a hacer si queremos encontrar el momento exacto de la dependencia, es decir, averiguar exactamente donde en la curva de la solución en un momento dado,$t$.)
