Cómo mostrar que todas las posibles colección de analítica continuaciones de $\displaystyle f(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^2} $ tiene punto singular en $z = 1$. Sé que $f(z)$ converge para $|z| \le 1$. También hay un teorema que relaciona la singularidad de continuación analítica con el círculo de convergencia?
Respuestas
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Tenga en cuenta que cuando se $|z|<1$, $$f'(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{z^{n-1}}{n}=-\frac{\log(1-z)}{z}.\tag{1}$$ Desde el lado derecho de la $(1)$ tiene una singularidad en $z=1$, lo que implica que en el círculo unidad, la continuación analítica de $f$ tiene una singularidad en $z=1$.
Para la situación general, tenga en cuenta que para una variable compleja, cualquier (no vacío) conjunto abierto en $\mathbb{C}$ es un dominio de holomorphy, lo que implica que para cualquier subconjunto cerrado $S$ de los del círculo unidad, existe un holomorphic función de $f$ definido en la unidad de disco, de tal manera que la colección de sigularities de la continuación analítica de $f$ sobre el círculo unitario es, precisamente,$S$.
Observación: en caso de, $(1)$ sigue a partir de la integración de $$(zf'(z))'=\sum_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z}.$$
Krzysztof Hasiński
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Este es uno de los polylogarithm, también se $s=2$ de los casos es llamado dilogarithm como GEdgar señaló. La definición es $$ \operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \sobre k^s} = z + {z^2 \más de 2^s} + {z^3 \más de 3^s} + \cdots \, $$ Su caso es $s=2$, lo $\operatorname{Li}_2(z)$.
De acuerdo a http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithmtenemos una representación integral de la $\operatorname{Li}_s(z)$:
$$ \operatorname{Li}_{s}(z) = {1 \over \Gamma(s)} \int_0^\infty {t^{m-1} \over e^t/z-1} \,\mathrm{d}t \,. $$
Así que, en su caso $$ \operatorname{Li}_{2}(z) = \int_0^\infty {zt \a través de e^t - z} \,\mathrm{d}t \,.$$
Esto permite una continuación analítica a $z\in \mathbb{C}-[1,\infty)$.
