Álgebra lineal pregunta de desafío que implican espacios del Vector.

Question

Problema:

Deje $V$ ser el espacio de continuamente diferenciable mapas de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y deje $W$ ser el subespacio de los mapas de $f$ que $f(0)=f^\prime(0)= 0.$ Deje $Z$ ser el subespacio de $V$ consta de mapas de $x\to ax+b$,$a,b \in \mathbb{R}$. Demostrar que $V=W\oplus Z.$

Con el fin de resolver el problema, tenemos que demostrar que para todos los $v\in V$ $$v=w+z,$$ where $w\W$ and $z\in Z.$ I don't know why this must be true, however I can show that $W\cap Z=\{0\}$ since if $z(x)=ax+b$ and $z\W$ then $z(0)=z^\prime(0)=0$ implies that $a=b=0.$ and so the intersection of the two subspaces must be the zero function denoted by $0.$

¿Cómo debo proceder para demostrar que cada función puede ser representada como la suma de las funciones de $w\in W$$z\in Z$?

Answer 1

El primer paso es averiguar los valores de $a$ $b$ dependiendo $v$. Sin conocer estos valores antes de tiempo, vas a la lucha.

Así, supongamos por el momento que en realidad tenemos $v(x) = ax + b + w(x)$ algunos $w \in W$. Sabemos que estos son iguales para todas las $x$. Cómo podemos extraer los valores de $a$$b$?

Sugerencia: trate de subbing en los números, y/o mediante la diferenciación!

Una vez que se obtienen estos valores, que no debería ser demasiado difícil de probar.

Answer 2

Sugerencia Supongamos que existe una descomposición $V = W \oplus Z$, de forma que para cualquier $v(x) \in C^1(\Bbb R)$ hemos $$v(x) = w(x) + z(x)$$ para $w(x) \in W, z(x) \in Z$.

Ahora, queremos expresar $w(x)$ $z(x)$ en términos de $v(x)$, y que la única información disponible es la de las definiciones de $W, Z$. Desde $W$ se caracteriza por la evaluación de las funciones (y sus derivados) a $x = 0$, esto sugiere que la evaluación de nuestra expresión anterior en $x = 0$, dando $$v(0) = w(0) + z(0) .$$ Ahora, ¿qué hace la definición de $W$ nos dicen acerca de $w(0)$?