La distinción entre sumas directas internas y externas de espacios vectoriales (o de grupos, o de otros artilugios algebraicos) es un caso más complicado del hecho de que no todas las uniones de subconjuntos son disjuntas.
Recordemos que un unión disjunta $\bigsqcup_{i\in I}X_i$ de una familia de conjuntos $(X_i)_{i\in I}$ (así indexado por el conjunto $I$ ) puede construirse como el conjunto $\bigsqcup_{i\in I}X_i=\{(i,x):i\in I,x\in X_i\}$ más los datos de las funciones obvias $X_i\to\bigsqcup_{i\in I}X_i$ dado por $x\mapsto (i,x)$ .
Por otro lado, el unión $\bigcup_{i\in I}X_i$ de una familia de subconjuntos $X_i\subseteq X$ se define como el subconjunto $\{x\in X:\exists i\in I\,(x\in X_i)\}\subseteq X$ de $X$ ; implícitamente la unión de subconjuntos también tiene los datos de los mapas $X_i\to\bigcup_{i\in I}X_i$ que vienen dados por $x\mapsto x$ .
Ahora, la unión disjunta de una familia de conjuntos $X_i$ tiene un propiedad universal dada cualquier familia de funciones $X_i\overset{f_i}\rightarrow Y$ en algún conjunto $Y$ existe una función única $\bigsqcup_{i\in I}X_i\overset{f}\dashrightarrow Y$ para que cada $f_i$ es el compuesto de $f$ con el mapa inyectivo $X_i\to\bigsqcup_{i\in I}X_i$ . En efecto, la condición sobre el compuesto dice que dado $x\in X_i$ su imagen $f_i(x)$ en $X\overset{f_i}\to Y$ debe ser la imagen $f((i,x))$ de la imagen $(i,x)\in\bigsqcup_{i\in I}X_i$ de $x\in X_i$ bajo el mapa inyectivo $X_i\to\bigsqcup_{i\in I}X_i$ . Pero esto determina de forma única la función $\bigsqcup_{i\in I}X_i\overset f\to Y$ como el que envía $(i,x)\mapsto f_i(x)$ .
(El significado de las propiedades universales es que dos objetos cualesquiera que satisfagan la misma propiedad universal tienen un isomorfismo natural entre ellos. Esto permite hacer riguroso el hecho de que algunas construcciones parezcan implicar elecciones que son arbitrarias sólo en la medida en que tengamos que hacerlas para llevar a cabo realmente la construcción. Por ejemplo, podríamos haber construido tan fácilmente una unión disjunta como $\{(x,i):x\in X_i\}$ en lugar de $\{(i,x):x\in X_i\}$ . Estos dos conjuntos son diferentes, y cuál de ellos utilizamos como la unión disjunta es una elección completamente arbitraria, pero podemos utilizar el hecho de que ambos satisfacen la propiedad universal de unión disjunta para construir la biyección natural (es decir, el isomorfismo) que envía $(x,i)\mapsto(i,x)$ .)
A continuación, dado que la unión $\bigcup_{i\in I}X_i$ viene con mapas $X_i\to\bigcup_{i\in I}X_i$ hay un mapa natural $\bigsqcup_{i\in I}X_i\to\bigcup_{i\in I}X_i$ de la unión disjunta de los subconjuntos (considerados como conjuntos) a su unión como subconjuntos. Este mapa natural simplemente envía $(i,x)\mapsto x$ . Se puede ver fácilmente que el mapa es sobreyectivo. En el caso de que el mapa sea también inyectivo, entonces la unión disjunta es isomorfa a la unión, por lo que decimos que la unión es disyuntiva .
La relación anterior entre la unión disjunta y la unión surge del hecho de que la unión satisface una más débil propiedad universal: es decir, es para subconjuntos $Y\subseteq X$ , no conjuntos arbitrarios $Y$ que existe una función única $\bigcup_{i\in I}X_i\overset f\to Y$ dada una familia de funciones $X_i\xrightarrow{f_i}Y$ para que cada $f_i$ es el compuesto de $f$ con $X_i\to\bigcup_{i\in I}X_i$ .
Obsérvese finalmente que para que la unión de subconjuntos $X_i\subseteq X$ para ser disjuntos, es necesario que la familia de subconjuntos sea disjuntos por pares es decir, que $X_i\cap X_j=\emptyset$ si $i\neq j$ . De hecho, esta es la propiedad de la unión de los subconjuntos isomórficos $\{(i,x):x\in X_i\}\subseteq \bigsqcup_{i\in I}X_i$ por lo que una unión isomorfa a la unión disjunta también debe tener la propiedad. Resulta que esta propiedad de ser disjuntos por pares es también suficiente (para los conjuntos de todos modos, como veremos más adelante para los espacios vectoriales no es suficiente).
Al trabajar con espacios vectoriales, el suma directa externa $\bigoplus^{ext}_{i\in I}V_i=\{$ secuencias $(v_i\in V_i)_{i\in I}$ para que $v_i=0$ para todos los casos, excepto para un número finito de $i\in I\}$ viene con mapas lineales obvios $V_i\to\bigoplus^{ext}_{i\in I}V_i$ dado por $v\mapsto(v_j)_{j\in I}$ donde $\begin{cases}v_j=v&j=i\\0&\text{otherwise}\end{cases}$ y tiene la misma propiedad universal que la unión disjunta, pero para mapas lineales. En efecto, dada cualquier familia de mapas lineales $V_i\overset{f_i}\to W$ tenemos que $\bigoplus^{ext}_{i\in I}V_i\overset{f}\dashrightarrow W$ debe estar dada por $f((v_i))=\sum f_i(v_i)\in W$ que es una suma finita por la propiedad de soporte finito.
Por otro lado, el suma $\sum_{i\in I}V_i$ de una familia de subespacios vectoriales $V_i\subseteq V$ viene dada por $\sum_{i\in I}V_i=\{v\in V:v=$ una suma finita $\sum v_i$ con $v_i\in V_i\}$ . También tiene mapas lineales naturales $V_i\to \sum_{i\in I}V_i$ dado por $v\mapsto v$ y satisface la misma propiedad universal que la unión de subconjuntos, pero con subespacios en lugar de subconjuntos. Explícitamente, es para subespacios $W\subseteq V$ que existe un único mapa lineal $\sum_{i\in I}V_i\overset f\to W$ dada una familia de funciones $V_i\xrightarrow{f_i}Y$ para que cada $f_i$ es el compuesto de $f$ con $V_i\to\sum_{i\in I}V_i$ .
Utilizando las propiedades universales, vemos que las sumas directas externas se relacionan con las sumas del mismo modo que las uniones disjuntas se relacionan con las uniones. En particular, siempre hay un mapa natural $\bigoplus^{ext}_{i\in I}V_i\to\sum_{i\in I}V_i$ enviando $(v_i)_{i\in I}\mapsto\sum v_i$ . Decimos que una suma de subespacios $V_i\subseteq V$ es un suma directa interna si el mapa natural $\bigoplus^{ext}_{i\in I}V_i\to\sum_{i\in I}V_i$ es un isomorfismo. En este caso denotamos la suma $\sum_{i\in I}V_i$ de subespacios por $\bigoplus_{i\in I}V_i$ .
El razonamiento detrás de esta elección de notación es el siguiente: para los espacios vectoriales, siempre se da el caso de que los mapas naturales $V_i\to\bigoplus^{ext}_{i\in I}V_i$ son mapas lineales inyectivos, por lo que una suma directa externa es también una suma directa interna.
Una vez más, la suma directa externa tiene la propiedad de que los subespacios isomórficos $V_i\hookrightarrow\bigoplus_{i\in I}^{ext}V_i$ de la suma directa externa considerada como suma directa interna, son disjuntos por pares (en el sentido de que sus intersecciones por pares son el subespacio vectorial cero). Sin embargo, a diferencia del caso de las uniones de subconjuntos, ésta no es una condición suficiente para que la suma de subespacios vectoriales sea el análogo de disjuntos, es decir, una suma directa interna.
De hecho, considere $\mathbb R^2$ y los subespacios dados por el $x$ -eje, el $y$ -y un eje diagonal. Los tres ejes son ciertamente disjuntos, pero su suma es $\mathbb R^2$ mientras que su suma disjunta es isomorfa a $\mathbb R^3$ . Se deduce que la suma de estos tres subespacios disjuntos no es una suma directa interna.
Resulta (y es un buen ejercicio creo) que la condición necesaria y suficiente es $V_i\cap\sum_{j\neq i}V_j)=\{0\}$ que Roman toma como definición de una suma directa interna.
