Encontrar un $δ$ % límite $\lim_{x\to 2} x^4 = 16$

Question

$$\lim_{x\to a} x^4 = L$$ para algunos arbitraria de un

Recogiendo $a$ 2, obtenemos:

$$\lim_{x\to 2} x^4 = 16$$

Para demostrar que es el límite he intentado hacer el epsilon-delta definición de un límite para mostrar cómo encontrar un $δ$ tal que $|f(x) - L| < \epsilon$ para todo x satisfacciones $0 < |x-a| < δ$

Y he aquí lo que he intentado:

$\forall ε>0, \exists δ>0$, tal que para todo x, si $0<|x-2|<δ$ $|x^4 - 16| < ε$

$$|x^4 - 16| < ε$$ $$|(x-2)(x+2)(x^2+4)| < ε$$

$$δ: |x-2| < δ$$ Tomé $δ$ 1, entonces,

$$|x-2| < 1 \Rightarrow 1 < x < 3 \Rightarrow 3 < x + 2 < 5 \Rightarrow 7 < x^2 + 4 < 9$$

así,

$$|(x-2)(x+2)(x^2+4)| < |x-2|*9 < ε \Rightarrow |x-2| < \frac{ε}{9}$$

por lo tanto,

$$δ: min\lbrace1, \frac{ε}{9}\rbrace$$

Me preguntaba si yo lo que hice fue correcto y si no se puede que alguien me muestre dónde podría de mal estado.

Answer 1

Empecemos por d = 1 (d = delta): 1 1 5 / x + 2 / / x - 2 / 0, entonces nos debemos hacer.

Answer 2

Dadas $\varepsilon>0$ tenemos que encontrar un $\delta>0$ tal que $|x^4-16|