Supongamos que $M^m$ es un colector con límite. Si nos dan una orientación para $M$ podemos obtener una orientación para $\partial M$ teniendo en cuenta la orientación de $TM$ en $\partial M$ y, a continuación, utilizando un vector que apunta hacia el exterior para obtener una orientación de $T(\partial M)$ .
Esto me hizo preguntarme: ¿es posible que $M^\circ = M \setminus \partial M$ es orientable pero $M$ ¿no? ¿Es posible que $M^\circ$ es orientable pero $\partial M$ ¿no?
No, si $M^\circ$ es orientable, entonces $M$ es orientable, y por tanto $\partial M$ es orientable. Aquí hay dos pruebas. Ambas son secretamente la misma.
1) El obstáculo a la orientabilidad es la primera clase de Stiefel-Whitney $w_1(M) := w_1(TM) \in H^1(M;\mathbb Z/2)$ . Hecho: si $f$ es un mapa suave, entonces $f^*w_1(\xi) = w_1(f^*\xi)$ . Entonces $TM^\circ = \iota^* TM$ donde $\iota$ es el mapa de inclusión; y obsérvese que $\iota$ induce un isomorfismo en cohomología, ya que es una equivalencia homotópica. Así que bajo las obvias identificaciones de los anillos de cohomología, $w_1(TM^\circ) = w_1(TM)$ Así que $TM^\circ$ es orientable si $TM$ es.
2) Una orientación es una sección no evanescente de la potencia exterior superior del haz tangente $\Lambda^n TM$ . Dada una sección no evanescente de $\Lambda^n TM^\circ$ ponga una métrica fibrosa en $TM$ y supongamos que esta sección es de norma unitaria. Entonces en una vecindad pequeña de cualquier punto $p \in \partial M$ hay una y sólo una forma de ampliarlo a una sección de $TM$ . (Recuerde que localmente en un gráfico $U$ el haz de esferas unidad de $\Lambda^n TM$ parece $\mathbb Z/2 \times U$ .) Amplíe su sección. No hay ambigüedad, y ésta es de nuevo una sección suave por definición de la métrica fibrosa que varía suavemente. Así que siempre se puede extender una orientación de $\Lambda^n TM^\circ$ à $\Lambda^n TM$ si lo desea.
Puedes reescribir 2) en términos de formas diferenciales no evanescentes de grado superior, si quieres. Esto puede ser más intuitivo que pensar en términos de paquetes. La sustitución de la métrica en $\Lambda^n TM$ es escalar su elección de forma que $\omega_p(X_1, \dots, X_n) = \pm 1$ si el $X_i$ son un marco ortonormal en $p$ .
Todas estas pruebas requieren una estructura riemanniana. Pero se puede localizar el uso de la misma para que esté cerca de la frontera - por lo que todo lo que realmente se necesita es que la frontera sea paracompacta. No tengo ni idea de lo que se puede decir cuando la frontera no es paracompacta. Si tuviera que aventurar una respuesta, diría que en este caso es falsa.
(La estructura riemanniana aparece en la primera demostración porque [ $w_1(\xi) = 0$ si $\xi$ es un haz de líneas trivial] sólo es cierto en el caso de que $\xi$ se le puede dar una métrica riemanniana fiberwise, y en el tercero porque lo necesitas para demostrar la existencia de vecindades collar).
Ponerle un collar es realmente hacerse la pregunta: Se basa en la trivialidad del haz normal de $\partial M$ en $M$ que a su vez es equivalente a la orientabilidad de $\partial M$ (ya que un haz de líneas es trivial si y sólo si es orientable).
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