Ecuación del círculo que circunscribe el triángulo formado por tres líneas de

Question

La cuestión es mostrar que la ecuación de un círculo que circunscribe un triángulo formado por la líneas $a_rx+b_ry+c_r=0$ donde $r=1,2,3$ es $$ det[ \begin{vmatrix} \frac{a_1^2+b_1^2}{a_1x+b_1y+c_1} & a_1 & b_1\ \frac{a_2^2+b_2^2}{a_2x+b_2y+c_2} & a_2 & b_2 \ \frac{a_3^2+b_3^2}{a_3x+b_3y+c_3} & a_3 & b_3 \end{vmatrix}]=0$ $

He probado utilizando que es el el hecho de que la ecuación del círculo que circunscribe los lados formado por $L_1=0,L_2=0,L_3=0$ $L_1L_2+ d L_2L_2 + e L_3L_1 =0$ sujeto a condición que coeficiente de $xy=0$ y el coeficiente de $x^2=y^2$ pero no pueden ponerla en la forma exigida. ¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

Para ello se utiliza el Simson del Teorema de que los pies de las perpendiculares desde cualquier punto de $(x,y)$ sobre la circunferencia circunscrita a los lados del triángulo son colineales.

Los pies de las perpendiculares desde $(x,y)$ $a_ix+b_iy+c_i=0$ está dado por

$x_i = x - \dfrac{-a(a_ix+b_i y+c)}{a_i^2+b_i^2}, y_i = y - \dfrac{-b(a_i x+b_i y+c)}{a_i^2+b_i^2} $

Desde $(x_i,y_i)$ son colineales, tenemos $\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$

La sustitución y el uso de transformaciones:

1. $C_1 \rightarrow C_1-xC_3$

2. $C_2 \rightarrow C_2-yC_3$

3. Multiplicando $C_1,C_2$$\dfrac {a_i^2+b_i^2}{(a_ix+b_i y+c)}$, llegamos a la ecuación deseada

Nota: por Favor, consulte también la Derivación de los pies de las perpendiculares

Answer 2

Uno muy muy de fuerza bruta y tedioso manera de proceder sería construir las ecuaciones para encontrar las 3 cruces. Habrá tres ecuaciones y cada pareja va a generar las coordenadas de una intersección. Ahora para el círculo, $(x-h)^2+(y-k)^2-r^2=0$, conectamos nuestro encontrado previamente puntos de intersección que genera tres ecuaciones de segundo grado en $h,k,r$. La solución de esta ecuación cuadrática sistema le dará $h,k,r$ en términos de los puntos de intersección. Forma de la ecuación apropiada para el círculo y, a continuación, expanda el determinante y comparar. Deje $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ ser los puntos de intersección:

$h = \frac{(y_1^2 + x_1^2) (y_2 - y_3) + (y_2^2 + x_2^2) (y_3 - y_1) + (y_3^2 + x_3^2) (y_1 - y_2)}{2 (x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2))}$

$k = \frac{(y_1^2 + x_1^2) (x_3 - x_2) + (y_2^2 + x_2^2) (x_1 - x_3) + (y_3^2 + x_3^2) (x_2 - x_1)}{2 (x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2))} $

$r = \frac{\sqrt{((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2) ((x_1 - x_3)^2 + (y_1 - y_3)^2) ((x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2)}}{2 (x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2))} $

Todavía tiene que estar relacionado con el lineal de los coeficientes de $a_i,b_i,c_i$. Bastante desordenado. Sin embargo, todo esto se ve estrechamente relacionado con un sistema de Vandermonde de algún tipo como su determinante.