¿Qué $J_1\cap J_2=\emptyset$ significa algebraicamente para dos variedades en $\Bbb{C}^n$?

Question

Deje $J_1, J_2$ dos variedades en ${\Bbb C}^n$. Entonces $$J_i=V(I_i)\quad i=1,2.$$ para algunos $I_i\subset\Bbb{C}[x_1,\cdots, x_n]$ y $$J_1\cap J_2=V(I_1\copa I_2)$$ y $$J_1\copa J_2=V(I_1I_2).$$

Un ejercicio de Artin del Álgebra de las siguientes preguntas:

• ¿Qué $J_1\cap J_2=\emptyset$ significa algebraicamente?
• ¿Qué $J_1\cup J_2=\Bbb{C}^n$ significa algebraicamente?

No entiendo la imagen subyacente de estas dos preguntas. ¿Qué se supone que tengo que responder? ("Polinomios en $I_2$ $I_2$ no tienen ningún divisor común" cuenta como una algebraico significado? O "estos dos instrucción implica que uno puede definir la topología de Zariski"?) Este ejercicio se ve más bien subjetivo, para mí. Podría alguien ayudar a aclarar?

Answer 1

$$J_1\cap J_2=\emptyset \iff I_1+I_2=\Bbb{C}[x_1,\cdots, x_n]$$ $$J_1\copa J_2=\Bbb{C}^n \iff I_1=(0)\; \text {o} \; I_2=(0)$$

Editar (en respuesta a la de Jack petición en los comentarios)
La segunda equivalencia se basa en la $\mathbb C^n$ siendo irreductible en la topología de Zariski.
Esto significa que la unión de dos subconjuntos cerrados $J_1,J_2\subset \mathbb C^n$ es el total de $\mathbb C^n$ fib uno de ellos es igual a $\mathbb C^n$.
[El criterio para la irreductibilidad de una variedad afín es que su anillo de ser un dominio; aquí el anillo es $\mathbb C[X_1,...,X_n]$ que sin duda es un dominio de modo que, efectivamente, $\mathbb C^n$ es irreductible]

Por lo tanto $J_1\cup J_2=\Bbb{C}^n \iff J_1=\Bbb{C}^n \;\text {or} \;J_2=\Bbb{C}^n$ y, finalmente,$J_i=\mathbb C^n \iff I_i=(0)$ .