forma cerrada de una integral similar a la función de Bessel

Question

La forma integral del $n$ -La función de Bessel modificada del primer tipo es $$I_n(z)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}e^{z\cos\theta}\cos(n\theta)\;d\theta.$$ Sin embargo, encontré una integral $$L(a)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\cos^2k~\textrm{sech}^2(a\cos k)~dk,\;\;a>0$$ No sé si la integral $L(a)$ se relaciona con la función de Bessel $I_n(z)$ o no. Sólo quiero saber la forma cerrada de la integral $L(a)$ . Entonces, si existe una forma cerrada o no para $L(a)$ ?

En Mathematica, encontré que $L(1)=0.263272$ , $L(2)=0.0768269$ .

Answer 1

No existe una forma cerrada de esta integral que pueda determinarse fácilmente. Se puede determinar que $\textrm{sech}^{2}(x)$ tiene coeficientes relacionados con los números de Bernoulli y son similares en forma a los de $\tanh(x)$ y tiene la forma $$\textrm{sech}^{2}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \, \theta_{n}}{n!} \, x^{2n}.$$
Ahora la integral en cuestión es $$L(a)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\cos^2k~\textrm{sech}^2(a\cos k)~dk,\;\;a>0$$ para lo cual se determina lo siguiente. \begin {align} L(a) &= \frac {2}{ \pi } \, \int_ {0}^{ \pi /2} \cos ^{2}t \, \textrm {sech}^2(a \cos t) \N, dt \\ &= \frac {2}{ \pi } \, \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac {(-1)^{n} \, \theta_ {n} \ a^{2n} {n!} \, \int_ {0}^{ \pi /2} \cos ^{2n+2}t \N, dt \end {align} Desde $$\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2n+2}t \, dt = \frac{\pi \, (2n+3) \, \left(\frac{1}{2}\right)_{n}}{4 \, (n+1)!}$$ entonces $$L(a) = \frac{1}{2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \, (2n+3) \, \left(\frac{1}{2}\right)_{n} \, \theta_{n}}{n! \, (n+1)! } \, a^{2n},$$ donde $(a)_{n}$ es el símbolo de Pochhammer y $\theta_{n}$ está relacionado con $$\theta_{n} \sim \frac{4^{n} \, (4^{n} -1)}{(2n)!} \, B_{2n}$$ donde $B_{2n}$ son los números pares de Bernoulli.