¿Por qué la distribución de Cauchy no tienen refiero a que si es simétrica alrededor de 0?

Question

Algo que no tenía sentido intuitivo para mí la hora de aprender acerca de la distribución de Cauchy fue que no estaba definido significa para la función, aunque la función fue claramente centrada en cero y el mismo valor en ambas direcciones.

¿Hay alguna razón para esto?

Answer 1

La respuesta matemática es lo que Lost1 dijo, así que no voy a repetir.

Moralmente, la matemática de la respuesta es la correcta, porque uno de los interesantes objetos de la probabilidad (a mí de todos modos) tienden a ser idealizada versiones de cosas que uno encuentra en los experimentos. Antes de contarles lo que me refiero, tomar un segundo y pregúntate qué harías si una persona que nunca había encontrado ningún matemáticas superiores antes de que pregunte, "¿qué significa?"

Yo les diría que una media es un promedio. Si repite un experimento un montón de veces, entonces el promedio de los resultados que obtenga, la media es ese número. Por la ley de los grandes números, sabemos que hasta un poco de tolerancia y cierta regularidad hipótesis de que la respuesta usualmente es esencialmente correcto.

Seguramente cualquier definición de "media" tiene que estar de acuerdo con el que yo acabo de dar. El problema con la distribución de Cauchy es que si usted tenía un montón de auténtico estándar independiente de Cauchy distribuido variables aleatorias y promediado, su límite de no ser todo lo que cerca de cero. Sería algún número al azar. De hecho, su distribución sería de nuevo un estándar de Cauchy.

En esencia, creo que la razón por la media de una distribución de Cauchy no es cero es que si encuentro un montón de aproximadamente independientes, aproximadamente de Cauchy variables aleatorias, sus empírica promedio probablemente no iba a ser todo lo que cerca de cero.

Answer 2

Para la media, para existir, necesita $\int^\infty_{-\infty}\frac{|x|}{1+x^2}\text{d}x$ a un ser finito. Este es el mismo que el requisito de una función integrable. Una función medible $f$ es integrable si $\int |f|\text{d}\mu<\infty$. Como se ha señalado por parte de muchas personas, si la media existe, es 0 por simetría, pero no lo hace.

Answer 3

El argumento se menciona en el post, reformulada en un poco más de la terminología estándar, es que la distribución de Cauchy variable aleatoria es simétrica alrededor de cero. Esto sugiere, y en realidad implica, que la mediana debe ser igual a cero y no dice nada acerca de la media.

Answer 4

Sólo para agregar una clara demostración de lo que realmente ocurre cuando se intenta lidiar con la media y la superior momentos de una distribución de Cauchy, me encontré con una rápida secuencia de comandos repetidamente tomar n muestras estándar de una distribución de Cauchy (5 pistas para cada n):

n = 1000
    mean = -1.02224, sd = 22.0379
    mean = 0.443686, sd = 18.5603
    mean = -0.616193, sd = 20.8578
    mean = 0.544703, sd = 16.2545
    mean = 1.99947, sd = 56.7486
n = 10000
    mean = 0.20199, sd = 41.3423
    mean = 3.47629, sd = 364.8
    mean = -1.4106, sd = 80.6524
    mean = -0.441166, sd = 224.783
    mean = -0.674296, sd = 66.4877
n = 100000
    mean = 1.13362, sd = 413.799
    mean = -1.06265, sd = 228.098
    mean = 1.09204, sd = 317.432
    mean = 3.80845, sd = 1493.95
    mean = -0.377224, sd = 295.982
n = 1000000
    mean = -1.41118, sd = 3189.89
    mean = -1.66183, sd = 1797.63
    mean = -0.176471, sd = 422.138
    mean = 1.30805, sd = 2023.47
    mean = 0.723504, sd = 1575.73

Usted puede ver claramente cómo la media y SD salto loco por todo el lugar, y no muestran ningún signo de la convergencia sobre cualquier tipo de valor significativo.