Tipo de número primo: ${p(n)=4n^2-4n-1}$

Question

Experimento con expresión cuadrática $ax^2+bx+c$ motivado por Euler de la primer generación de polinomio $n^2+n+41$

Dado que el $\color{red}{p(n)=4n^2-4n-1}$

Conjetura: Hay siempre un número entero $n$ rango de valor de$\color{blue}{5k+1}$$\color{blue}{5k+5}$$k\ge0$, $p(n)$ siempre va a dar al menos un número primo.

Para los ejemplos

$k=0$, $n:1-5$ : [$p(2)=7$]

$k=1$, $n:6-10$ :[$p(7)=167$]

$k=2$, $n:11-15$ :[$p(11)=439$]

$k=100$, $n:501-505$:[$p(502)=1006007$]

Hasta ahora, la conjetura parece correcto, pero estamos tratando de encontrar un ejemplo donde no da un número primo, pero al parecer no funciona, por lo tanto, naturalmente, la pregunta

¿Cómo hace uno para probar o refutar esta hipótesis?

Answer 1

La conjetura es falsa; intente $k=7\cdot23\cdot 47\cdot 79=597793$. El $5k+1$ versión es el único disco duro para probar, y resulta ser compuesto (sólo 2 factores primos). Los otros son múltiplos de $7,23,47,79$ respectivamente.

Nota: La técnica que se utiliza para simplificar $$p(5k+2)=4(5k+2)^2-4(5k+2)-1=100k^2+60k+7$$ así que si $k$ es un múltiplo de a $7$, por lo que es $p(5k+2)$.

Answer 2

La conjetura es falsa. Arce da a los más pequeños como contraejemplo $k=36$, cuando los valores son $$130319,\ 131767,\ 133223,\ 134687,\ 136159$$ que son todos los compuestos.