Elige 3 puntos a, B y C en un círculo O

Question

Tengo que obtener p,q y r.

p = la probabilidad de que el triángulo ABC es un ángulo agudo del triángulo

p = la probabilidad de que el triángulo ABC es un ángulo recto del triángulo

r = la probabilidad de que el triángulo ABC es un obtuso ángulo del triángulo.

Tengo una idea de que el diámetro de O es importante en la determinación del ángulo. Pero no puedo conseguir exacto de p,q y r.

Por favor, ayudar.

Answer 1

Sugerencia: Dado $A$ $B$ como en la imagen de arriba,

1. $\triangle ABC$ es de ángulo agudo sólo si $C$ se encuentra en el arco rojo, que tiene probabilidad de $\frac{\alpha}{2\pi}$.
2. $\triangle ABC$ es en ángulo recto sólo si $C$ es $A^\prime$ o $B^\prime$, lo que ha probabilidad de $0$.
3. $\triangle ABC$ es obtuso ángulo de otra manera, que tiene probabilidad de $1-\frac{\alpha}{2\pi}$.

Ahora, por supuesto $p$, $q$, y $r$ no debe depender de $\alpha$, entonces, ¿cómo podemos calcular los?

Answer 2

La probabilidad de $q$ de obtener un ángulo recto del triángulo $\to 0,$
desde $2$ de la $3$ puntos deben ser exactamente en el diámetro.

Para obtuso y agudo de ángulo de triángulos:

Elija $3$ aleatoria de puntos en la circunferencia, dibujar diametral líneas, y elegir aleatoriamente un polo de cada uno. 3 consecutivos puntos necesariamente se encuentran en el mismo semicírculo, y se forma un obtuso ángulo del triángulo. Hay $6$ estos combos (a partir de $1$ a través de $6$) frente a un total de $2^3 = 8$, por lo tanto $r = \dfrac68 = \dfrac34$,
y $p = 1-r = \dfrac14$