Probar que existe un número $y \in \mathbb{R}$ $[0,1]$ st $f(y) = y$

Question

$f$ es continua en a $[0,1]$ y el rango de $f$ es un subconjunto de a $[0,1]$. Probar que existe un número $y \in \mathbb{R}~$ $[0,1] $ tal que $f(y) = y$ $~h(x) = f(x) - x$

Yo no estaba seguro de cómo acercarse a este como yo no podía determinar si el $~h(x) = f(x) - x$ era una identidad de funciones continuas o sólo una parte de la cuestión. Parecía estar cerca de la definición de continuidad en un punto de $\mu$:

Si $\lim\limits_{x \to \mu} f(x) = f(\mu)$

pero yo no estaba seguro de cómo usarlo (si es que en todos).

¿Qué es una buena dirección a seguir con esto?

Answer 1

Bueno, si hay un punto de $x$ tal que $f(x) = x$, entonces tendríamos $h(x) = f(x) - x = 0$. Por lo tanto, sólo tenemos que mostrar que $h(x)$ tiene un cero.

Una función continua disfruta el teorema del valor intermedio. Si podemos demostrar que $h(x)$ es mayor que cero en algún punto en $[0,1]$, y menos de cero en otro punto de $[0,1]$, tendrá un cero. Trate de usar el tamaño del dominio y el tamaño de la gama a ver que tal los puntos de existir.

Answer 2

Se supone que para mostrar que $h(x)=0$ algunos $x\in [0,1]$. Para ello, puede utilizar el hecho de que $h$ es una función continua y aplicar el teorema del valor intermedio. Tenga en cuenta que$h(0)=f(0)\geq 0$$h(1)=f(1)-1\leq 0$, por lo que por el IVT tenemos algunos $x\in [0,1]$ tal que $h(x)=0$, lo $f(x)=x$.

Edit: Un enfoque más general con las técnicas más avanzadas nos permite mostrar que para cualquier función continua $f:[a,b]\to [a,b]$ y no de la intersección de la curva continua $\gamma:[0,1]\to [a,b]\times [a,b]$ tal que $\gamma(0)=(a,a),\gamma(1)=(b,b)$, existe alguna $t\in [0,1],x\in [a,b]$ tal que $(x,f(x))=\gamma(t)$. Esta es una generalización de la pregunta original, que es equivalente a dejar a $a=0,b=1$ y la definición de $\gamma(t)=(t,t)$. Suponga $f(a)> a$ como lo hemos terminado. Por el Jordan de la curva de teorema, las regiones $A$ por encima y $B$ por debajo de la curva de $\gamma$ están conectados sin embargo, $A\cup B$ está desconectado. Deje $\Gamma(f)$ denotar la gráfica de $f$. Tenga en cuenta que $\Gamma(f)\cup A\cup B$ está conectado, ya que cada término está conectado, $(a,f(0))\in \Gamma(f)\cap A$ y, o bien $f(b)<b$, en cuyo caso $(b,f(b))\in \Gamma(f)\cap B$ o $f(b)=b$, en cuyo caso $(b,b)\in \Gamma(f)\cap (B\cup (b,b))$ y es fácil comprobar que $B\cup (b,b)$ está conectado. Por lo tanto $\Gamma(f)\cup A\cup B\neq A\cup B$ así que tenemos algo de $(x,f(x))\in ([a,b]\times [a,b])\setminus (A\cup B)=\gamma$.