¿Qué no puede describirse por categorías?

Question

He estado leyendo algunos materiales del tipo "introducción a las categorías" y me ha impresionado su carácter omnicomprensivo, pero el escéptico que hay en mí se pregunta: ¿existe algún objeto matemático que las categorías no puede ¿describir?

En concreto, me interesaría cualquiera de estos:

a.) Objetos que pueden ser descritos por categorías que tienen propiedades que no pueden.

b.) Equivalentes de categoría de los límites de tipo teórico de conjuntos, como la forma en que "el conjunto de todos los conjuntos" causa problemas.

c.) Algún tipo de matemática tan patológica que frustra, por ejemplo, la asociatividad. No es necesario que sea una matemática útil en ningún sentido, sólo una diseñada específicamente para que sea imposible describirla con categorías.

Answer 1

La teoría de categorías sólo proporciona un lenguaje. A veces proporciona descripciones, metáforas y teoremas realmente útiles, pero la mayoría de los teoremas no se pueden demostrar utilizando la teoría de categorías (aunque se puedan demostrar muy bien). descrito en ese idioma). El inglés puede utilizarse para describir cualquier objeto matemático que se nos ocurra, y la mayoría de las pruebas actuales están escritas en inglés, pero eso no significa que el inglés tenga un significado matemático profundo.

Answer 2

No entiendo muy bien tu pregunta, pero si lo que preguntas es si los teóricos de las categorías deberían preocuparse por los problemas de la teoría de conjuntos, la respuesta parece ser "a veces". No soy un experto en esta área, pero parece que la gente tiende a evitar construcciones universales como límites sobre diagramas grandes, y en otros casos, la gente asume la existencia de cardinales fuertemente inaccesibles. Esto parece evitar contradicciones estándar, pero debo confesar que nunca he comprobado tales argumentos.

No conozco muchas referencias para esta pregunta. Lurie discute algunas construcciones en la sección 5.4 de Teoría de topos superiores .

Answer 3

No sé si este es el tipo de respuesta que usted está buscando, pero la categoría de la teoría de la lengua no puede ser utilizado para definir algunas propiedades que pueden ser muy interesados en. Por ejemplo, si estás trabajando en una categoría donde los objetos subyacentes conjuntos, entonces la noción de un morfismos ser surjective no es categórica. Se puede demostrar que en la categoría de conjuntos, surjectivity es equivalente a la mapa, siendo un epimorphism, pero esto no es cierto en la categoría de espacios topológicos (donde epimorphism corresponde a la imagen denso).

Así que usted no puede hacerlo todo con el resumen de tonterías. A veces, usted realmente tiene que demostrar las cosas con hechos acerca de la categoría específica que usted está trabajando. Pero los resultados a menudo puede ser interpretado como "reglas acerca de cómo funcionan las cosas en la categoría". Por ejemplo, usted podría demostrar que si dos morfismos tienen una cierta propiedad P, entonces cuando lo componen, usted todavía consigue algo con la propiedad P. O tal vez usted puede mostrar que "la propiedad P es estable bajo cambio de base" (común en la geometría algebraica). Para probar estas cosas, usted tiene que "ensuciarse las manos", pero una vez que tenga esos resultados, usted puede utilizar en su categoría de la teoría de argumentos.

Answer 4

Hay una variante interesante de tu pregunta, que tal vez ha sido incluido en la primera parte de la misma, en cuanto a si hay partes de las matemáticas, donde las categorías tienen poca tracción, y si este es un estado de los asuntos. Yo estaba conduciendo en esta distinción cuando se me planteó una pregunta a Terry Tao lo que él contestó: aquí.

Answer 5

Desde el punto de vista de alguien que usa principalmente analítica de las desigualdades aplica a las áreas de análisis geométrico y del PDE, la más natural, la pregunta es "¿por qué categoría de la teoría de la utilidad?"

Categoría de la teoría que parece ser un éxito rotundo en el más algebraica de las áreas de las matemáticas, pero que ha tenido mucho menos impacto en la mayoría de las áreas de análisis y geometría diferencial. Por qué es esto así que voy a dejar a la gente que entiende de esto mucho mejor que yo.