Una infinidad de números primos de la forma 2^n+c n varía?

Question

En el momento de la escritura, la pregunta 5191 se cierra con la acusación de la tarea. Pero no tengo ni idea acerca de lo que está pasando en esa pregunta (aparte de la parte 3) [Editar: Anton comentarios en 5191 aclarar al menos algunas de las cosas que pasan y están bien vale la pena leer] [Editar: FC excelentes respuestas muestra que mi falta de clueness es simplemente debido a la ignorancia de mi parte] así que me voy a pedir una.

Mi impresión es que generalmente se cree que existen infinitos números primos de Mersenne, es decir, de los números primos de la forma $2^n-1$. Mi impresión es también que se sospecha que hay sólo un número finito de números primos de Fermat, es decir, de los números primos de la forma $2^n+1$ (un argumento heurístico está en la página de wikipedia para los números primos de Fermat). [EDIT: en la página de la Wikipedia también hay una heurística argumento de que existen infinitos números primos de Fermat!]

Así que me voy, básicamente, de re-formular algunas partes de Q5191, porque no sé cómo hacer que una pregunta se vuelve a abrir en cualquier otra forma, además de algunas generalizaciones.

1) Para que enteros impares $c$, por lo general, se conjeturó que existen infinitos números primos de la forma $2^n+c$? Para que $c$ es generalmente conjeturó que hay sólo un número finito? Para que $c$ no tiene idea de lo que la conjetura? [Edit: FC nos ha demostrado que no va a haber un montón de $c$'s para que $2^n+c$ es (seguramente) el primer solo finitely a menudo. Qué todavía sólo tienen un $c$ (es decir,$c=-1$) por lo que generalmente se cree que $2^n+c$ es el primer infinitamente a menudo?]

2) ¿existe alguna extraña $c$ por lo que es sensato suponer que hay una infinidad de $n$ tal que $2^n+c$ $2^{n+1}+c$ son simultáneamente prime? La misma pregunta para "un número finito de $n$".

3) ¿hay algún pares de $c,d$ de los enteros impares para el que es sensato suponer que $2^n+c$ $2^n+d$ son simultáneamente primer infinitamente a menudo? Mismo para "finitely a menudo".

Answer 1

Sin duda hay (muchos!) los pares de enteros c, d para el que es conocido que $2^n + c$, $2^n + d$ no puede ser al mismo tiempo el primer infinitamente a menudo -- tomar c = 1, d = -1, por ejemplo, donde 2^n - 1 sólo puede ser un primo si n es primo, pero 2^n + 1 sólo puede ser un primo si n es una potencia de 2. Alternativamente, tomando todo (mod 3), vemos que c = -1, d = 7 son sólo de forma simultánea en primer n = 2.

Así que hay un montón de locales obstrucciones a estos pares, al mismo tiempo, prime, aunque probablemente no sea suficiente para descartar todos, pero un número finito de ellos.

[Editado porque esto es raro para caber en un comentario]: he Aquí un burdo intento de una realidad básica de la heurística (para la parte 1 y parte 3) que no veo una manera de hacer que funcione, pero tal vez alguien más lo hará...

Así que vamos a arreglar c y considerar la (mod p) el comportamiento de 2^n + c para cada uno de los impares primos p. Desde el 2^n es periódica (mod p), para la gran n tenemos algunas clases de congruencia (mod p-1) para que 2^n + c siempre es compuesto. Para simplificar el análisis, se puede considerar el comportamiento de p tales que 2 es una raíz primitiva (mod p), en cuyo caso no es exactamente un ejemplo de congruencia de la clase (mod p-1) para cada p.

El problema ahora es que no hay ninguna manera obvia de tamiz de esto, ya que los números primos menos uno no se comportan muy bien con respecto a la multiplicación. Mi primera suposición-que es sólo una corazonada, no respaldado por nada que se asemeje a la lógica-es que, genéricamente hablando, podríamos ver a aproximadamente el mismo comportamiento como si se criba por los números primos, es decir, 2^n + c es coprime a todos los números primos para que 2 es una raíz primitiva con una probabilidad de 1/log n. Esto es mucho más grande que el PNT predice, por supuesto, pero en particular, es todavía lo suficientemente pequeño para que (suponiendo que mi regreso-de-la-envoltura de cálculo y tremendamente especulativo corazonada es correcta), debemos esperar que $2^n + c$, $2^n + d$ normalmente son simultáneamente prime sólo finitely a menudo.

[Editar^2]: Así que después de un poco más de pensamiento veo que mi corazonada es terriblemente, terriblemente mal, es decir, que no hay ninguna razón para creer que a = b (mod p-1) y = d (mod p-1) tiene soluciones. Pero yo sospecho que nos hacen llegar algunos "nuevos" prohibido exponentes para casi todos los primos, que ::las manos vigorosamente:: sugiere que los valores de n con 2^n + c prime tiene la densidad de 0 y, en particular, probablemente han densidad en la mayoría de los O(1/log n), que todavía es bueno para un heurístico para (3). Cualquiera puede hacer esto más precisa?

Answer 2

Hola, espero no duplicar cualquier cosa con lo que voy a escribir. Aquí va: Si uno considera la Bateman-Cuerno conjetura, se predice que $$ \sum_{n \leq x}\Lambda(f(n)) \sim \prod_p\left(\frac{p-n_p}{p-1}\right)x $$

donde $\Lambda(n)$ es la de von Mangoldt función y $n_p$ es el número de soluciones de la ecuación de $f(n) \equiv 0 \bmod p$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. La razón de la forma de cada uno de Euler factor es el siguiente: Para cada una de las $p$, que en general no es $(p-1)/p$ de probabilidad de nondivisibility por $p$ en los enteros. Pero si el conjunto en cuenta es el de la imagen de la polinomio $f$, entonces la nueva probabilidad de nondivisibility por $p$$(p-n_p)/p$. Por lo que el factor de Euler es $((p-n_p)/p)/((p-1)/p) = (p-n_p)/(p-1)$. Si el infinito producto a través de estos factores es cero o no es como una competencia entre primos con $n_p=0$$n_p>1$. Realmente depende de la densidad de estos primos con diferentes $n_p$.

Por lo tanto me gustaría saber si el de arriba Bateman-Cuerno conjetura puede ser generalizado para este caso como sigue(?): $$ \sum_{n \leq x}\Lambda(2^n+c) \sim \prod_p\left(\mbox{algo}\right)x. $$

O hay alguna razón por la heurística para $2^n+c$ deben ser tratados de manera diferente a $f \in \mathbb{Z}[x]$?

Es interesante considerar algo análogo a $n_p$ en el caso de $2^n+c \equiv 0 \bmod p$. Para$p|c$, $n_p=0$ desde $2^n$ nunca se $0 \bmod p$. Para $p\nmid c$, uno debe considerar el subgrupo cíclico $<2>$ generado por $2$$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{*}$. Deje $h$ ser el fin de este subgrupo. Tenemos $h | p-1$. Deje $\delta_p = 1$ si $c \in <2>$ $\delta_p=0$ lo contrario.

A continuación, para cada una de las $p$, los números de la forma $2^n+c$ tienen probabilidad $$(\delta_p \times (p-1)/h)/(p-1) = \delta_p / h$$ of divisibility by $p$. Por lo tanto, perhas de Euler de un factor debe ser (?) $$ \left(\frac{(h-\delta_p)/h}{(p-1)/p}\right). $$

Poniendo todo esto junto, se puede conjeturar (?) $$ \sum_{n \leq x}\Lambda(2^n+c) \sim \prod_{p|c}\left(\frac{p}{p-1}\right)\prod_{p \nmid c}\left(\frac{(h-\delta_p)/h}{(p-1)/p}\right)x. $$

Gracias.

Answer 3

Ingenuo conjetura de (2) y (3) sería que sólo hay un número finito de estos $n$ (a menos que $c=d$, desde entonces (3) se convierte en (1)). La razón es que de forma heurística de la 'probabilidad' de que un número de orden de $m$ es primo es aproximadamente el $1/\log(m)$, y la suma de $$\sum_n \frac{1}{\log(2^n+c)\log(2^n+d)}$$ converge.

Answer 4

Hola, yo creía que siempre hay una infinitud de los números primos en todas las formas de 2^n + c, excepto c = 1 (números de fermat). No tengo pruebas, pero aunque la recopilación de algunos datos de mi investigación de los formularios 2^x+3 y 2^x+5. Estoy interesado en la razón de ser de que juntos van a producir infinito de los números primos gemelos y el primer progresión aritmética (3,2^x+3,2^x+1 + 3), de nuevo mi creencia y basado en el algoritmo en el que estoy trabajando.