Demuestra que si $E \subset\mathbb {R}$ es un conjunto medible, así que $f:E \rightarrow \mathbb {R}$ es una función medible.

Question

Si $E \subset \mathbb {R}$ es un conjunto Lebesgue medible y $f:E \rightarrow \mathbb {R}$ una función monótona, muestran que $f$ es medible.

Lo estoy intentando durante horas sin ningún progreso.

Answer 1

Toda función monótona es medible incluso en Borel, y en particular en Lebesgue. Para ver esto, primero dejemos que $f$ sea una función creciente sobre $\mathbb{R}$ . Sea $a \in \mathbb{R}$ .

Definir $F_a=\{ x\ \in \mathbb{R} : f(x) \leq a \}$ y queremos mostrar $F_a$ es un conjunto medible, de lo que concluiremos que f es medible.

Ahora bien, si $F_a=\varnothing $ entonces, obviamente $F_a$ es medible, y hemos terminado.

Por lo tanto, asuma $F_a\not =\varnothing $ y que $x_0=\sup F_a$ Hay 3 opciones diferentes:

1)si $x_0=\infty$ entonces $F_a=\mathbb{R}$ es medible.

2)si $x_0 \in F_a$ entonces $F_a=(-\infty,x_0]$ .

3) si $x_0 \not \in F_a$ entonces $F_a=(-\infty,x_0)$ .

y en todo caso $F_a$ es un conjunto borel, por lo que f es medible.

Ahora para la disminución de f se puede observar que $-f$ es una función creciente, por lo que es medible, y por tanto $f$ también es medible.