EL TAMAÑO DE LOS

Question

Una formulación del axioma de elección es arbitraria producto de conjuntos no vacíos deben ser no vacío. El axioma de contables elección de CA$_\omega$ es conocido por ser estrictamente más débiles que los de CA, pero todavía independientes de ZF; es equivalente a la afirmación de que una contables producto de conjuntos no vacíos es no vacío.

Uno puede obtener un trivial, pero más débiles de la versión de AC por la limitación del tamaño de la factor de conjuntos en el producto, más que el tamaño del conjunto de índices sobre los cuales el producto es tomado?

Para un no-ejemplo, decir que el CA$_z$ es la declaración de que un producto arbitrario de contable de conjuntos es vacío. Sin duda ZF + AC implica ZF + CA$_z$. Pero a mí me parece que ZF implica CA$_z$ incluso sin AC: Dejar que el conjunto de índices ser $\mathcal C$. Ya que por cada factor que se establezca $s\in\mathcal C$ en el producto hay un bijection $f_s: s\leftrightarrow \Bbb N $, la $\{f_s(0): s\in\mathcal C\}$ es un elemento del producto.; O, equivalentemente, si $\mathcal C$ es una familia de conjuntos contables, a continuación, la función de $c:{\mathcal C} \to \bigcup{\mathcal C}$ que se lleva a $s\mapsto f_s(0)$ es una función de elección para $\mathcal C$, y existe en ZF sin necesidad de CA$_z$ como independiente axioma.

Digamos que la "restricción de elección axioma" $AC_\Phi$ es la declaración de

Si $\mathcal C$ es una colección arbitraria de conjuntos, y $\Phi(X)$ mantiene para cada elemento $X\in\mathcal C$, hay una función de elección para $\mathcal C$.

Dependiendo de $\Phi$, $AC_\Phi$ podría ser muy débil, o podría ser tan fuerte como la propia comisión. Mi pregunta es:

Hay $\Phi$ tal que ZF + $AC_\Phi$ demuestra estrictamente más de ZF, pero estrictamente menor que ZFC?

Si he cometido algún error de hecho o de lógica en este post, agradecería correcciones.

Answer 1

Como un ejemplo básico, $\mathsf{AC}(\mathrm{fin})$, la afirmación de que el Axioma de Elección es válido para todas las familias de conjuntos finitos, es conocido por ser implícita en el Principio de orden (que cada conjunto linealmente ordenado), pero es bastante más fuerte que el $\mathsf{ZF}$ (la existencia de un Russell secuencia (una contables secuencia de dos conjuntos de elementos sin una función de Elección) es consistente con $\mathsf{ZF}$ y claramente contradicen $\mathsf{AC}(\mathrm{fin})$).

(Véase Horst Herrlich del Axioma de Elección para algunos limitada información acerca de la $\mathsf{AC}(\mathrm{fin})$ y Horst Herrlich & Eleftherios Tachtsis _On el número de Russell calcetines o $2 + 2 + 2 + \cdots = ?$ cierta información básica acerca de Russell secuencias.

Answer 2

En la mayoría de los casos $\sf ZF$ no puede demostrar que la elección de las familias de restricción de los conjuntos (más bien restringido a las familias) existe. De hecho limitación en el tamaño de la familia es a menudo independiente de la limitación en el tamaño de los miembros de la familia.

De hecho, incluso $\sf AC_{fin}$ que establece que "todos los de la familia de los no-vacío finito de conjuntos admite una función de elección" es independiente de $\sf ZF$, pero estrictamente más débil de lo $\sf ZFC$.

En los textos que tratan mucho con bellas versiones de elección (ver P. Howard, Rubin & Rubin, E. Hall, y así sucesivamente), a menudo verás $C(X,Y)$ donde $X$ es una limitación en el tamaño de la familia, y $Y$ es una limitación en el tamaño de los miembros de la familia.

Algo de interés, no ha sido un trabajo de clasificación de elección de las familias de conjuntos finitos, por ejemplo, la elección de los pares no implica la elección de los trillizos, y viceversa. Usted puede encontrar los detalles en Jech, El Axioma de Elección, en el capítulo 7.

En el mismo libro, en el capítulo 8, Jech tiene una prueba de que $\sf DC_{\kappa}$ no puede demostrar que no es una función de elección en una familia de $\kappa^+$ pares.

Más ejemplos incluyen Cohen primer modelo en el que el axioma de contables elección deja de ser; pero todo bien ordenado de la familia de los conjuntos ordenados admite una función de elección (es decir, podemos elegir bien ordenada de manera uniforme). Por otro lado, suponiendo que todo bien ordenado familia admite una función de elección ni siquiera puede demostrar que toda la multitud innumerable tiene un subconjunto de tamaño $\aleph_1$.

Hay toneladas de relaciones complejas entre las diferentes maneras de debilitar el axioma de elección. La regla general es que cuando algo puede salir mal, lo hará. Mucho como la Ley de Murphy.