Consulta sobre el teorema 1.21 en Baby Rudin

Question

En la demostración del Teorema - 1.21 (pg-10) en la obra de Rudin Principios del análisis matemático (Declaración - Para cada real $x>0$ y cada número entero $n>0$ hay uno y sólo un real positivo $y$ s.t. $y^n = x$ );

1. El autor dice - "Asumir $y^n<x$ . Elija h de manera que $0<h<1$ & $h<\frac{x-y^n}{n(y+1)^{n-1}}$ " $\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space$ ¿Cómo consigue la última desigualdad?

2. En la segunda parte, ¿cómo obtiene el autor este valor de k cuando dice - "Supongamos $y^n>x$ . Poner $k=\frac{y^n-x}{ny^{n-1}}$ " ?

Gracias de antemano...

Answer 1

Esta es mi interpretación de cómo Rudin argumentó el primer punto de su pregunta (para contradecir el caso que $y^{n} < x$ ).

La idea es encontrar un $y^*$ que estaría en la "brecha" de números creada si $y$ eran efectivamente menores que el "verdadero $\sqrt[n]{x}$ ". (Aquí $y$ se refiere a $y=\sup E$ donde $E=\{t:t^n < x, t\in\mathbb{R^+}\}$ según la definición de Rudin).

En otras palabras, estamos tratando de construir tal $y^*$ que tiene las dos propiedades $(y^*)^n < x$ y $y^* > y$ . La primera propiedad dice que $y^* \in E$ el conjunto que $y$ límites arriba. La segunda propiedad contradice el hecho de que $y$ es un límite superior de $E$ ya que $y^* \not\le y$ y $y^* \in E$ .

Para construir $y^*$ necesitamos encontrar un $h$ tal que $y^*=y+h$ .

Intuitivamente, uno querría dejar que $h$ sea una cantidad positiva menor que la diferencia $\sqrt[n]{x} - y$ . Sin embargo, aún no hemos demostrado la existencia de $\sqrt[n]{x}$ por lo que esto complica nuestro enfoque.

Una alternativa es observar la diferencia $x - y^n$ que es una expresión válida en este punto de la prueba. Gráficamente, este enfoque puede considerarse como la elección de la posición de $y+h$ en el eje horizontal según el valor de la función $(y+h)^n$ en el eje vertical.

En otras palabras, en lugar de especificar $h$ directamente trataremos de especificar $h$ en términos de lo que $y+h$ se corresponde con la infraexponenciación mediante $n$ .

Por lo tanto, buscamos un $h$ tal que $(y+h)^n - y^n < x - y^n$ .

(De nuevo, piense en comparar los valores de la función de la curva $f(t) = t^n$ en un gráfico. El lado izquierdo $(y+h)^n - y^n$ es una cantidad positiva menor que la altura del "hueco" vertical que se supone que existe entre $y^n$ y $x$ en el gráfico).

(Ya que $f(t) = t^n$ es una función estrictamente creciente (para los positivos $t$ ), las desigualdades se conservan, por lo que la hipotética "brecha" horizontal (en la que estábamos interesados inicialmente) se corresponderá con una "brecha" vertical después de esta transformación. Intuitivamente, (pretendiendo $\sqrt[n]{x}$ se define) podríamos escribir, $$ \sqrt[n]{x} - y > 0 \iff \sqrt[n]{x} > y \iff f(\sqrt[n]{x}) > f(y) \iff \sqrt[n]{x}^n > y^n \iff x > y^n \iff x - y^n > 0 $$ con las siguientes justificaciones para cada una de las flechas dobles (en orden de izquierda a derecha): (1) suma/resta por $y$ , (2) $f$ es estrictamente creciente, (3) definición de $f$ (4) definición de $\sqrt[n]{x}$ (5) suma/resta por $y^n$ .)

Utilizando la observación que hizo Rudin $^1$ podemos inyectar otra expresión en la desigualdad para obtener

$(y+h)^n - y^n < hn(y+h)^n < x - y^n$

(Esta "inyección" está bien por ahora porque técnicamente no hemos definido $h$ todavía, sino que siguen trabajando hacia atrás para especificar $h$ .)

El problema de esta desigualdad es que la expresión del medio contiene $h$ dentro de un término binomial elevado a la potencia de $n$ , lo que hace que sea difícil de aislar algebraicamente. Creo que Rudin hace la conveniente suposición en este punto de que $h$ es pequeño - en otras palabras $0 < h < 1$ - para completar su definición de $h$ .

Ahora podemos inyectar otra expresión en la desigualdad para obtener:

$(y+h)^n - y^n < hn(y+h)^n < hn(y+1)^n < x - y^n$

Aislando sólo las dos expresiones de la derecha y reordenando se obtiene la desigualdad final:

$h < \frac{x - y^n}{n(y+1)^n}$

Nota final

1. La observación de Rudin:

$b^n - a^n = (b-a)(b^{n-1} + ab^{n-2} + ... + a^{n-2}b + a^{n-1})$

así que

$b^n - a^n < (b-a)n(b^{n-1})$

en el caso $0 < a < b$ .

(Rudin dejó $b = y+h$ y $a=y$ en la prueba).

Answer 2

Si $y \lt x^{\frac1{n}}$ es una solución aproximada a: $$ f(t)=x-t^n=0 $$ entonces el método de Newton sugeriría $$ y + \frac{x-y^n}{ny^{n-1}} $$ como uno mejor. Sin embargo $$ \left(y + \frac{x-y^n}{ny^{n-1}}\right)^n =y^n+ny^{n-1}( \frac{x-y^n}{ny^{n-1}})+\cdots \gt x $$ que no sirve para un argumento que requiere una aproximación mototécnica a un límite. el motivo para sustituir $y$ por $y+1$ en el denominador de la aproximación de Newton es obtener una estimación mejorada que no se sobrepase. demostrarlo es la única dificultad que queda...

en el otro caso este problema no se plantea, y el tratamiento que da Rudin es simplemente el método de Newton