¿Cuál es la diferencia entre el escalar cero y el vector cero?

Question

El vector cero tiene un valor cero en el espacio vectorial dado. Por lo tanto, es diferente del escalar cero. El vector cero es la identidad aditiva del espacio vectorial dado, mientras que el escalar cero no lo es. Entiendo esta distinción académica. Pero todavía tengo lo siguiente $2$ dudas.

(i) En un espacio unidimensional, ¿es el escalar cero lo mismo que el vector cero?

Según yo, NO. En $1D$ Los vectores pueden expresarse en notación de números reales (en lugar de la notación matricial), donde el valor absoluto del número real indica la magnitud y el signo la dirección. Entonces, estamos utilizando la "notación de números reales" para representar no un número real, sino un vector en $1D$ . Lo que representamos no es un número real. Así, un vector cero en $1D$ espacio se expresa efectivamente como $0$ en "notación numérica real". Sin embargo, no representa el número real cero (que es miembro del conjunto de números reales), sino que representa el vector cero (que es un miembro de los vectores en el espacio 1D). Por lo tanto, en $1D$ espacio, un vector cero puede ser representado por el número $0$ . Pero no es el número real $0$ .

Analogía -: Un segmento dirigido representa un vector. No es un vector.

(ii) ¿Es la velocidad cero lo mismo que la velocidad cero? En general, si definimos una cantidad escalar $Q_1$ que es la magnitud de una cantidad vectorial $Q_2$ , entonces es cero $Q_1$ igual que cero $Q_2$ ?

Según yo - NO. Cuando la velocidad es cero, entonces la velocidad es cero y viceversa. Sin embargo, la velocidad cero no es igual a la velocidad cero.

Answer 1

No quiere saber nada de argumentos "académicos" (¿quiere decir "algebraicos"?). Así que, procediendo de forma pragmática, aquí están mis respuestas a tus dos preguntas.

(i) A vector o cantidad vectorial, es una cantidad cuya determinación completa viene dada por una magnitud y una dirección con la única excepción de que la magnitud sea cero. En este caso la dirección no tiene sentido, y el vector es sólo su magnitud: no hay dos vectores diferentes con magnitud cero y direcciones diferentes. Esto ocurre independientemente de la dimensión. Cuando se mide o se calcula una cantidad vectorial hay que medir o calcular su magnitud y su dirección, pero si su magnitud resulta ser cero ya está hecho, no hay que determinar ninguna dirección.

Así que la cantidad vectorial cero es la cantidad escalar cero (en cualquier dimensión).

(ii) Los mismos argumentos de (i) se aplican aquí con una notable diferencia. Un vector de velocidad es un vector ligado, mientras que en (i) los vectores eran vectores libres. Por tanto, aquí un vector acotado vector es el triple compuesto por una magnitud, una dirección y un punto de aplicación . Así que aquí no se puede decir que la velocidad cero (cantidad vectorial) es la velocidad cero (cantidad escalar), sino que hay que utilizar el concepto de escalar en un punto (un mapa) y ahora sólo se puede decir eso:

la velocidad cero en un punto determinado es la velocidad cero en ese mismo punto (en cualquier dimensión).

Sólo hay que tener en cuenta que utilizando argumentos algebraicos que implican la definición algebraica estándar de vector, escalar, espacio vectorial, campo, igualdad (en lugar de los que se dan aquí), las respuestas a (i) y (ii) no son ni positivas ni negativas, porque los escalares y los vectores, y por tanto el escalar cero y el vector cero en cualquier dimensión, ni siquiera son comparables en el entorno general del álgebra abstracta, donde sólo se estudian las estructuras, es decir, cómo funcionan las operaciones sobre entidades abstractas, independientemente de la naturaleza real de las entidades: así que se puede tener una entidad real dada que puede jugar el papel de escalar y de vector al mismo tiempo, pero el álgebra abstracta sólo puede distinguirlos, sólo sus distintos papeles. Entonces se puede añadir algún contexto, pasando así del álgebra abstracta al álgebra aplicada, y al hacerlo se puede definir una relación de igualdad en el conjunto de entidades reales que implicará características que no pertenecen al concepto abstracto de vector, escalar, número, ... sino que pertenecen a la naturaleza real de las entidades. Sólo ahora puedes empezar a preguntar por la igualdad de un vector y un escalar. Puedo darte detalles si lo necesitas pero es un poco más complicado.