¿Cuál es la diferencia entre el escalar cero y el vector cero?

Question

El vector cero tiene un valor cero en el espacio vectorial dado. Por lo tanto, es diferente del escalar cero. El vector cero es la identidad aditiva del espacio vectorial dado, mientras que el escalar cero no lo es. Entiendo esta distinción académica. Pero todavía tengo lo siguiente $2$ dudas.

(i) En un espacio unidimensional, ¿es el escalar cero lo mismo que el vector cero?

Según yo, NO. En $1D$ Los vectores pueden expresarse en notación de números reales (en lugar de la notación matricial), donde el valor absoluto del número real indica la magnitud y el signo la dirección. Entonces, estamos utilizando la "notación de números reales" para representar no un número real, sino un vector en $1D$ . Lo que representamos no es un número real. Así, un vector cero en $1D$ espacio se expresa efectivamente como $0$ en "notación numérica real". Sin embargo, no representa el número real cero (que es miembro del conjunto de números reales), sino que representa el vector cero (que es un miembro de los vectores en el espacio 1D). Por lo tanto, en $1D$ espacio, un vector cero puede ser representado por el número $0$ . Pero no es el número real $0$ .

Analogía -: Un segmento dirigido representa un vector. No es un vector.

(ii) ¿Es la velocidad cero lo mismo que la velocidad cero? En general, si definimos una cantidad escalar $Q_1$ que es la magnitud de una cantidad vectorial $Q_2$ , entonces es cero $Q_1$ igual que cero $Q_2$ ?

Según yo - NO. Cuando la velocidad es cero, entonces la velocidad es cero y viceversa. Sin embargo, la velocidad cero no es igual a la velocidad cero.

Answer 1

Para la pregunta 1) la respuesta es "normalmente no". Por ejemplo, dejemos que $n$ sea un número entero positivo mayor que $1$ y que $V$ sea un subespacio unidimensional de $\mathbb R^n$ . El vector cero en $V$ no es ciertamente el escalar $0$ . La razón por la que digo "normalmente" no es que si ves $\mathbb R$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ entonces el vector cero resulta ser igual al escalar cero. Podrías cocinar otros ejemplos como este.

Para la pregunta 2, la velocidad es un escalar y la velocidad es un vector. Si un objeto tiene velocidad $0$ entonces su velocidad es el vector cero, pero su velocidad no es igual a su velocidad. (No podrían ser iguales porque ni siquiera son el mismo tipo de objeto matemático).

Para ser más concretos, digamos que introduzco un sistema de coordenadas en mi laboratorio y mido que mi velocidad (en metros/seg) es el número $0$ . Entonces mi velocidad (en metros/segundo) es $(0,0,0)$ . Y $0 \neq (0,0,0)$ .

Esta es otra forma de plantear el mismo punto. Supongamos que la posición de una partícula en el momento $t$ es $f(t)$ , donde $f:\mathbb (a,b) \to \mathbb R^3$ es una función diferenciable. La velocidad de la partícula en el momento $t_0$ es $f'(t_0)$ y la velocidad de la partícula en el momento $t_0$ es $\| f'(t_0)\|$ . Supongamos que la velocidad de la partícula en el momento $t_0$ es el número $0$ . Entonces la velocidad de la partícula en el momento $t_0$ es $f'(t_0) = (0,0,0)$ . Y otra vez, $0 \neq (0,0,0)$ .

Answer 2

1. Estrictamente, no, pero isomórficamente, sí. Cualquier espacio de dimensión finita $V$ es isomorfo a $K^n$ , donde $K$ es el campo escalar asociado y $n=\dim(V)$ . Si $\{v_1,\ldots,v_n\}$ es una base, se puede escribir cualquier $v\in V$ de forma única como $v=\sum_{j=1}^n k_jv_j$ el isomorfismo es entonces $v\leftrightarrow (k_1,\ldots k_n)$ . En particular, en un espacio unidimensional, $\vec0$ y $0$ son iguales bajo ese isomorfismo ya que $\vec0=0\cdot v_1$ .
2. En sentido estricto, ambos no son iguales sino equivalentes. Si $Q_1=||Q_2||$ entonces $$Q_1=0\Leftrightarrow Q_2=0,$$ si $||\cdot||$ es cualquier norma (magnitud). Esto, sin embargo, es axiomático.

Answer 3

Tal vez sería útil examinar las diferencias entre vectores y escalares en lugar de centrarse exclusivamente en el vector cero y el cero de un campo.

El conjunto de vectores de un espacio vectorial forma un grupo abeliano bajo adición. Esto significa que hay un elemento de identidad, el vector cero, y cada vector $\mathbf{v}\in V$ tiene un inverso aditivo, $-\mathbf{v}$ y los vectores son asociativos bajo adición. Algunos ejemplos sencillos de grupos albelianos son $(\mathbb{Z},+)$ , $(\mathbb{Q},+)$ y $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ . También hay grupos albelinos multiplicativos como $(\mathbb{Q},\times)$ , $(\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\},\times)$ y $(\{a^n:n\in\mathbb{Z}\},\times)$ . En este tipo de grupos, es más útil pensar en la identidad como 1 en lugar de 0.

Los campos también son grupos abelianos bajo adición, y esto significa que también tienen un elemento cero que se comporta precisamente igual que un vector cero. Aquí puede surgir la confusión. Sin embargo, los campos también tienen una operación adicional que los vectores no tienen y es la multiplicación. Dos elementos cualesquiera de un campo pueden multiplicarse para dar otro elemento del campo. Los elementos de un campo también pueden dividirse. Algunos ejemplos comunes de campos son $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ .

También existe la condición de que el conjunto de vectores $V$ debe ser compatible con el campo base $\mathbb{F}$ por lo que ciertas combinaciones de grupos y campos no formarán espacios vectoriales. Por ejemplo, si tomamos nuestro conjunto de vectores como $V=(\mathbb{R}^n,+)$ y que el campo base sea $\mathbb{C}$ ¿tendremos un espacio vectorial? No, porque para cualquier vector $\mathbb{v}\in V$ el vector $i\mathbb{v}$ no es un elemento de $V$ y el cierre bajo multiplicación escalar es necesario para el par $(V, \mathbb{F})$ para formar un espacio vectorial.

Puede ser fácil confundir el vector cero con el cero de un campo, pero son no la misma en cualquier dimensión. Así que su respuesta a la primera pregunta es correcta. En mi curso de introducción al álgebra lineal, denotaron el elemento cero del campo escribiendo un pequeño $\mathbb{F}$ bajo el cero así: $0_\mathbb{F}$ para ayudarnos a distinguirlo del vector cero que denotamos con un pequeño $V$ debajo del cero así $0_V$ .

Con respecto a su última pregunta, la velocidad cero es efectivamente lo mismo que la velocidad cero, y esto es cierto para cualquier cantidad escalar definida como la norma de un vector ya que $||\mathbf{v} ||=0_\mathbb{F}\iff \mathbf{v} =0_V$ . Son entidades distintas, pero una implica a la otra.

Answer 4

Busca la definición de un espacio vectorial desde un punto de vista algebraico. Brevemente, para un espacio vectorial se necesita un grupo $(G,+_G)$ y un campo $(k,\cdot_k,+_k)$ combinados de forma intrínseca. En $G$ al ser un grupo se pueden combinar elementos mediante la operación de grupo y en $k$ tienes dos operaciones con sus respectivas reglas (conmutatividad, asociatividad y distributividad). Y la conexión entre estas dos estructuras viene dada por
$$ \lambda\cdot_k(g+_Gh)=\lambda\cdot_kg+\lambda\cdot_kh\qquad \forall \lambda\in k,\quad g,h\in G $$ y

$$ g\cdot_k(\lambda+_k\mu)=g\cdot_k\lambda+_Gg\cdot_k\mu\quad \forall g\in G\quad \lambda,\mu\in k $$

Intenta no pensar en las dimensiones en un caso concreto (como las matrices o los vectores) piensa como si tuviéramos un saco de elementos en el que podemos combinar elementos según reglas de grupo. Y tenemos otro saco de cosas de otro tipo donde podemos combinar los elementos según reglas de campo. Ambas estructuras necesitan tener un elemento cero para funcionar, pero estos elementos cero pueden ser de tipo/clase totalmente diferente. Creo que esto es exactamente lo que te molesta ya que en el caso concreto que estás viendo resulta que tienen el mismo tipo pero siguen viniendo de los diferentes sacos en el escenario abstracto. Así que trata de pensar en el escalar cero como si viniera de $k$ y el vector cero procedente de $G$ . Si sólo necesitas la configuración algebraica lineal, puede parecer un poco exagerado mirar la configuración abstracta, pero estoy seguro de que aclarará las cosas si tienes tiempo para sentarte con ella durante algún tiempo.

Answer 5

El escalar $0$ es el cero del campo $F $ que el espacio vectorial es un espacio vectorial sobre. Esto es diferente de la $n$ -vector nulo de dimensiones ${(0,\dots, 0)}$ , donde $n $ es la dimensión del espacio vectorial...(en el $1$ -caso de las dimensiones sólo hay un cero; pero los conceptos siguen siendo diferentes: por un lado el $1$ -tupla $(0)$ en lugar de simplemente el elemento $0\in F$ por otro. El contexto es diferente). Además, los vectores sólo se pueden sumar... mientras que los escalares multiplican vectores para dar nuevos vectores. ..

En segundo lugar, la velocidad es un escalar, el magnitud de la velocidad, que es un vector y, por tanto, tiene una dirección además de una longitud. ..

Por ejemplo, en un movimiento circular uniforme la velocidad es constante y el vector velocidad se mantiene perpendicular a la aceleración, que es hacia el centro del círculo... Esto es instructivo, y aplicable, en el sentido de que, el vector velocidad sigue cambiando (en dirección ), mientras que la velocidad es constante. ...