$A$ $B$ dos $4\times4$ matrices tales que el $AB=0$. ¿Por qué es $\operatorname{rank}(BA)<3$?

Question

Dadas dos $4 \times 4$ matrices $A$$B$. Probar que si $AB=0$$\operatorname{rank}(BA)<3$, es decir, $\operatorname{rank}(BA)$ $2$ o menos.

Ahora, definitivamente puedo ver la razón detrás de la conclusión, he intentado muchas cosas para hacer en el fin de simplificar AB es demasiado difícil, así que traté de simplificar la cuestión.

Si $AB = 0$ $BA$ tienen por lo menos 2 a cero filas.

A partir de ahí traté de llegar a la conclusión de que ambas matrices deben tener al menos 2 juegos de 2 filas que se debe ser similar (1 es la multiplicidad de los otros) y que era muy larga la deducción.

Estoy un poco desesperada y necesito ayuda, gracias.

Answer 1

Suponiendo que al $p(BA)$ media $rank(BA)$ nos acercamos por la contradicción

Supongamos que $rank(BA)\geq 3$

Desde $rank(BA)\leq \min\{rank(A),rank(B)\}$ esto implica que tanto $rank(A)$ $rank(B)\geq 3$ más implicando $nullity(A)\leq 1$ $nullity(B)\leq 1$

Ahora, esto implicaría que como $rank(B)\geq 3$ hay al menos tres linealmente independientes, distinto de cero salidas de $Bx$, en la mayoría de los cuales uno puede estar en el núcleo de $A$, lo que implica que los otros dos no están en el núcleo de $A$. Mediante el uso de uno de los vectores que se asigna a la imagen de $B$ que no está en el núcleo de $A$ nos muestran que existe un vector $x$ tal que $ABx\neq 0$ por lo tanto $AB\neq 0$.

Por contradicción, entonces, si $AB=0$ $rank(BA)<3$

Answer 2

Otra prueba simple.

$(BA)^2 = B(AB)A = 0$ => Im(BA) es el subconjunto de Ker(BA) => $dim(Im(BA)) \le dim(Ker(BA))$=> $2dim(Im(BA)) \le 4$ => $dim(Im(BA)) \le 2$