Dondequiera que miraba a ella se ha referido como "un hecho bien conocido", pero ¿cómo puedo demostrar que todo conjunto medible de una medida positiva en un espacio polaco contiene un subconjunto cerrado de una medida positiva? (medida es no-atómica).
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goric
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El truco es, simultáneamente, considere la posibilidad de aproximación, desde el interior, conjuntos cerrados, y desde el exterior por la apertura de los conjuntos. Si $S$ es un espacio métrico, y $\mu$ finito, medida en $(S,{\cal B}(S))$, definir $$ {\cal D}=\left\{B\in{\cal B}(S):\mu B=\sup_{F\subset B}\mu F=\inf_{G\supset B}\mu G \right\},$$ with $F$ and $G$ restricted to the classes of closed and open subsets of $S$, respectivamente.
Ya que cada conjunto abierto $G$$F_\sigma$, abierto todos los conjuntos pertenecen a $\cal D$. Ahora el uso de Dynkin $\pi-\lambda$ teorema a la conclusión de que todos los conjuntos de Borel pertenecen a $\cal D$.
El espacio de $S$ no tiene que ser polaco, sólo métrica. No importa si $\mu$ es atómica o no.
Referencia: Lema 1.34 (página 18) Bases de la Moderna Probabilidad (2ª edición) por Olav Kallenberg.
ConnectifyTech
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Yo no estoy familiarizado con el general teoría de la medida, pero el proceso en la medida de Lebesgue es la siguiente.
Teorema: Dado un conjunto medible $S$ $\varepsilon > 0$ no está abierto a$O$$S \subset O$$m(O) < m(S) + \varepsilon$.
Prueba: Por la definición de la medida de Lebesgue hay (countably muchos) cubrir los intervalos de longitud total en $\varepsilon$$m(S)$. Su unión es abierto y tiene una medida de entre la medida de $S$ y la longitud total de las cubiertas. El resultado de la siguiente manera.
Corolario: No se cierra $C$$C \subset S$$m(C) > m(S) - \varepsilon$.
Prueba: Utilizar el teorema anterior en $S^c$ y tomar complementos.
