Las estimaciones para parabólico vs elíptica de la PDE

Question

Elípticos y parabólicos PDE comparten muchas propiedades. Cada uno de ellos, por ejemplo, tienen asociado un principio del máximo y su valor en cualquier punto depende de la totalidad de los datos de límite.

Me han dicho que las estimaciones de soluciones a parabólico PDE normalmente reflejan los elíptica de la PDE, pero también son más difíciles de probar. Desde una elíptica de la PDE puede ser pensado como el estado de equilibrio de la solución a una parabólica de la PDE, me siento tentado a pensar parabólico resultados más general.

Mi pregunta: ¿hay algún método común utilizado para obtener los resultados de la elíptica de la PDE de resultados para parabólico PDE?

Mi primera idea sería tomar $t\rightarrow \infty$ de una solución y, siempre que haya convergencia en algún sentido, llegar a una solución a los asociados de estado estacionario problema. Sin embargo, no he encontrado ninguna fuente que hace esto.

Answer 1

Ok, yo creo que he encontrado un ejemplo de esto. Tomar una solución de $$(1) \qquad \partial_t u + L u=0$$ Suponiendo que podemos justificar los pasos siguientes, se integran en $t$ para obtener $$\int_0^\infty (\partial_t u + Lu) d\tau = 0$$ $$\lim_{t\rightarrow \infty} u(x,t) - u(x,0) + L \int_0^\infty u d \tau = 0$$ $$-u(x,0)+L\int_0^\infty u d \tau = 0,$$ donde en el último paso me han asumido $u(x,t)$ decae en $t$.

Por lo tanto, si partimos $u(x,0)\equiv 0$, y deje $u$ ser la solución a (1), entonces $$(2) \qquad v(x)=\int_0^\infty u(x,\tau) d\tau$$ resuelve el estado estacionario problema $Lv=0$.

Ahora bien, si tenemos un calor del núcleo de la representación de $u$, entonces la integral en (2) se puede calcular, y debemos ser capaces de derivar estimaciones para$v$$u$.

Edit: el Seguimiento de las preguntas... ¿Qué condiciones de contorno no $v$ satisfacer? Podemos hacer esto para ecuaciones no homogéneas (es decir, para que las soluciones $Lv=f$, $f\not\equiv 0$)?