Integral de una función de variable $e^{-(5x^2-6xy+5y^2)}$

Question

Cómo calcular $$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-(5x^2-6xy+5y^2)} \, dx \, dy \;?$$ He visto la integral primera vez. No puedo encontrar ninguna indicación de cómo proceder? Amablemente AYUDA. Gracias!

Answer 1

Suponga que $Ax^2+Bxy+Cy^2$ es positiva definida una forma cuadrática, es decir,$A>0$$B^2<4AC$. Por diagonalizing tal forma cuadrática, obtenemos que $$\iint_{\mathbb{R}^2}\exp\left[-(Ax^2+Bxy+Cy^2)\right]\,dx\,dy = \iint_{\mathbb{R}^2}\exp(-\lambda_1 x^2-\lambda_2 y^2)\,dx\,dy $$ con $\lambda_1,\lambda_2$ siendo los autovalores de a $M=\begin{pmatrix} A & B/2 \\ B/2 & C \end{pmatrix}$. Por el teorema de Fubini la última integral es igual a $$ \frac{\pi}{\sqrt{\lambda_1 \lambda_2}} = \frac{\pi}{\sqrt{\det M}}=\color{red}{\frac{2\pi}{\sqrt{4AC-B^2}}}. $$

Answer 2

Trate de usar el hecho de que la integral de la densidad de la distribución normal es de 1:

$$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dx=1.$$

Aquí $-(5x^2-6xy+5y^2)=-5(x-\frac{3}{5}y)^2-\frac{16}{5}y^2$, por lo que nuestra integral es

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{16}{5}y^2}\int_{-\infty}^\infty e^{-5(x-\frac{3}{5}y)^2} \, dx\,dy=\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{16}{5}y^2}\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{5}}\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{10}}\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\frac{3}{5}y)^2}{2\cdot(\frac{1}{\sqrt{10}})^2}}\,dx\,dy.$$

Aquí $$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{10}}\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x-\frac{3}{5}y)^2}{2\cdot(\frac{1}{\sqrt{10}})^2}}dx=1,$$ de modo que nuestros integral es

$$\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{5}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{16}{5}y^2}dy=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{5}}\frac{\sqrt{2\pi}}{\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{5}}}\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{32}}\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{y^2}{2\cdot(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{32}})^2}}dy.$$

Aquí, de nuevo, $$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{32}}\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{y^2}{2\cdot(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{32}})^2}}dy=1,$$ de modo que nuestros integral es

$$\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{5}}\frac{\sqrt{2\pi}}{\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{5}}}=\frac{\pi}{4}.$$

Answer 3

En $5x^2 - 6xy + 5y^2$, los coeficientes de $x^2$ $y^2$ son los mismos, que a mí me sugiere que girar el sistema de coordenadas para eliminar la $xy$ plazo debe ser hecho de una manera que trata a $x$ $y$ igualmente. Eso significaría una $45^\circ$ rotación, por lo tanto: \begin{align} x & = u+v \\ y & = u-v \end{align} así que \begin{align} 5x^2 -6xy+5y^2 & = 5(u+v)^2 -6(u+v)(u-v) + 5(u-v)^2 \\[10pt] & = 5(u^2+2uv+v^2) - 6(u^2-v^2) + 5(u^2-2uv+v^2) \\[10pt] & = 4u^2 + 16v^2. \end{align} Y $$ dx\,dy = \left| \det\left[ \begin{array}{cc} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right] \right| \, du\, dv = 2\,du\,dv $$