Es el autovalor de Hamiltonianos invariante bajo la transformación lineal de impulso operador?

Question

Es dado

La dinámica de una partícula en movimiento unidimensional en un potencial V(x) se rige por el Hamiltoniano $H_0 = p^2 /2m + V(x) $, donde $p = -i\manejadores d/dx$ is the momentum operator. Let $E_{n} ^{(0)}$ , $n = 1,2,3...$ be the eigenvalues of $H_0$. Ahora considere la posibilidad de un nuevo Hamiltoniano $H = H_0 + \lambda p/m$ donde $\lambda$ es un parámetro dado. Dado $\lambda, m $ $ E_{n}^{(0)}$ , hallar los autovalores de H.

Ahora, la solución fue muy bien teniendo en cuenta el $H$ se transformó en una forma de $p' = p+ \lambda$ de manera tal que,

$$H = (p+\lambda)^2/2m + V(x) - \lambda^2/2m$$

Donde otro Hamiltonianos $H'$ fue definido de tal forma que $$H' = p'^2/2m + V(x)$$

Pero, se dice que los autovalores de a $H'$ son los mismos con los de $H_0$, es decir, $E_n^{(0)}, n=1,2,3...$

Por lo tanto, $H + \lambda^2/2m= H' $ $$(H + \lambda^2/2m)\psi= H'\psi$$

$$H\psi + (\lambda^2/2m) \psi = E_n^{(0)}\psi$$

$$H\psi = [E_n^{(0)}-\lambda^2/2m]\psi$$

Por lo tanto, los autovalores de a$H$,

$$ E_n^{(0)}-\lambda^2/2m, n = 1,2,3...$$

Pero ¿por qué es que los autovalores permanecer invariante bajo la transformación de impulso operador? He buscado la Traducción del operador, y se enteró de que Hamilton y Traducción de viaje, pero la traducción operador lineal cambios $x$, no $p$.

También, sería posible explicar sin el uso de la Traducción del operador?

Answer 1

Esto es debido a que $H'=UHU^{-1}$ para un determinado operador unitario $U$, por lo $\psi$ es un autovector de a $H$ con un autovalor si sólo si $U\psi$ es autovector de a $H'$ con el mismo autovalor. Así que los dos operadores tienen el mismo espectro. $U = e^{i \lambda X/\hbar}$.

De $[X,P]= i \hbar I$ uno encuentra $$e^{-i \lambda X/\hbar}Pe^{i \lambda X/\hbar}= P + \lambda I\:.$$ En el otro lado $$e^{-i \lambda X/\hbar}V(x)e^{i \lambda X/\hbar}=V(x)$$ Como consecuencia de ello (con $\hbar=1$) $$UHU^{-1}= U \left(\frac{1}{2m}P^2 + V(x)\right) U^{-1}= \frac{1}{2m} UPU^{-1}HASTA U^{-1}+ UV(x)U^{-1}= \frac{1}{2m} (P+\lambda I)^2 + V(x) = H'\:.$$

Answer 2

A partir de la ecuación $H$ es una función lineal de $H_0$. En ese caso, los eigen valores de $H_0$ son eigen valores de $H$ también. Es por eso que los eigen valores permanecer invariante bajo una transformación.