la posición cerrada

Question

¿Tipo para mostrarme el camino? Quiero encontrar su forma cerrada. $$\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{k^2}\frac{3^k}{2^k-3^k}$$

Answer 1

Deje $S=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{k^2}\frac{3^k}{2^k-3^k}$. Calculamos: \begin{eqnarray} S &=& -\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2/3)^{k^2}}{1-(2/3)^k} \\ &=& -\sum_{k=1}^{\infty}\left((2/3)^{k^2}+(2/3)^{k^2+k}+(2/3)^{k^2+2k}+\cdots\right) \\ &=& -\sum_{i=1}^{\infty} a_i(2/3)^i \end{eqnarray} Donde $a_i$ es el número de pares de enteros $(k,\ell)$ con $k > 0$, $\ell \geq 0$ tal que $i = k^2+k\ell=k(k+\ell)$. Equivalentemente, dejando $m=k$ y $n=k+\ell$, $d_i$ es el número de pares de enteros $(m,n)$ $m,n > 0$ $m \leq n$ tal que $i = mn$. Por lo tanto, $a_i=\left \lceil{d_i/2}\right \rceil $ donde $d_i$ es el número de divisores de función $d_i = \sum_{k|i}1$. Desde $d_i$ es sólo extraño al $i$ es de planta cuadrada, tenemos $a_i = \begin{cases}(d_i+1)/2 & i\text{ square} \\ d_i/2 & i\text{ not square}\end{cases}$. Por lo tanto: \begin{eqnarray} S &=& -\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{\infty} d_i(2/3)^i + \sum_{i=1}^\infty (2/3)^{i^2}\right)\\ &=& \frac{1}{4}\Big(1-2L(2/3) -\theta_3(0,2/3)\Big) \end{eqnarray} Donde $L(x)=\sum_{i=1}^\infty d_i x^i=\sum_{i=1}^\infty x^i/(1-x^i)$ es la de Lambert de la Serie , que es la generación de la función de la $d_i$, e $\theta_3(0,x)=\sum_{i=-\infty}^\infty x^{i^2}$ es un Jacobi theta función. Esto no puede contar como una forma cerrada de la expresión, pero es mejor que nada. Encontrar una forma cerrada sería equivalente a mostrar que la $2L(2/3)+\theta_3(0,2/3)$ se puede expresar en forma cerrada, que puede o puede no ser posible.