Resolviendo las dos ecuación cúbica en sus raíces.

Question

Deje $x^{3}+ax+10=0$ $x^{3}+bx^{2}+50=0$ tiene dos raíces en común. Deje $P$ ser el producto de estas raíces comunes. Encontrar el valor numérico de $P^{3}$, que no impliquen $a,b$.

Mis intentos:

Vamos a las raíces de $x^{3}+ax+10=0$ $\alpha,\beta,\gamma\implies$ \begin{align*} &\alpha+\beta+\gamma =0 \\ &\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma =a \\ &\alpha\beta\gamma = -10 \end{align*}

y de $x^{3}+bx^{2}+50=0$ $\alpha,\beta,\gamma'\implies$ \begin{align*} &\alpha+\beta+\gamma' =-b \\ &\alpha\beta+\alpha\gamma'+\beta\gamma' =0 \\ &\alpha\beta\gamma' = -50 \end{align*}

Algunos de ecuaciones:

1. $\dfrac{\alpha\beta\gamma'}{\alpha\beta\gamma}=\dfrac{-50}{-10}=5$ $\implies \gamma'=5\gamma $
2. $\gamma-\gamma'=b \because$ Restando a la primera eq
3. $(\alpha+\beta)(\gamma-\gamma')=a$ Restando la segunda ecuación. desde arriba
4. $\alpha+\beta=\dfrac{a}{b} \ \ \because(2),(3)$ cuadrado, se obtiene: $(\alpha+\beta)^{2}=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}$
5. $\alpha\beta\gamma-\alpha\beta\gamma'=40\implies\alpha\beta(\gamma-\gamma')=40\implies\alpha\beta=\dfrac{40}{b}$

También se $(\alpha+\beta+\gamma')^{2} =b^{2}$

$\implies \alpha^2+\beta^2+\gamma'^2=b^2 \implies \alpha^2+\beta^2=b^2-\gamma'^2=b^2-\dfrac{25b^{2}}{16}=\dfrac{-9b^2}{16}\because (2),(1)$

Ahora, el cuadrado de la primera eq. de la primera serie de eq.$\implies \alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2a =0 \implies \alpha^2+\beta^2=\dfrac{-b^2}{16}-2a\because (2),(1)$

Equiparar esto con ecuaciones anteriores, $\implies \alpha^2+\beta^2=\dfrac{-9b^2}{16}=\dfrac{-b^2}{16}-2a\implies a^2=\dfrac{b^4}{16}\rightarrow(7)$

También, $\alpha^2 +\beta^2 +2\alpha\beta=\dfrac{a^2}{b^2} \because(4)$. Y se calculó la misma cosa en términos de $b$, poniendo todos estos,$\implies \dfrac{-9b^2}{16} +2\alpha\beta=\dfrac{b^4}{16b^2}\because(7)\implies \dfrac{80}{b}=\dfrac{10b^2}{16}\ \because (5)\implies b^3=128\rightarrow(6)$

Ahora, $(eq.5)^3\implies (\alpha\beta)^3=\dfrac{64000}{b^3}=\dfrac{64000}{128}=500=P^3\because(6)$

Es esto correcto, y si, entonces, ¿qué es más fácil/método más corto, aparte de mi GIGANTE método.

Answer 1

Un buen consejo de George Polya en Cómo resolverlo: mantener el objetivo en mente. A mí me parece que usted está escribiendo ecuaciones y, a continuación, hacer cualquier cosa que usted puede pensar con ellos (y usted tiene la respuesta correcta). Pero vamos a tomar un enfoque más estructurado de la vista.

En primer lugar, no queremos que la respuesta a contener $a$ o $b$, así que vamos a ignorarlos desde el principio. También, queremos encontrar el producto de las raíces, así que vamos a escribir $P=\alpha\beta$. También se desprende de las ecuaciones que la suma de las raíces será relevante, así que vamos a escribir $S=\alpha+\beta$. Entonces tenemos cuatro ecuaciones $$S+\gamma=0\ ,\quad P+S\gamma'=0\ ,\quad P\gamma=-10\ ,\quad P\gamma'=-50\ .$$ Llamar a estas ecuaciones $(1)$$(4)$. Multiplicando $(2)$ $P$ y el uso de $(4)$ da $$P^2-50S=0\ .$$ El uso de $(1)$ a eliminar la $S$ da $$P^2=-50\gamma\ .$$ Multiplicando por $P$ y el uso de $(3)$, finalmente $$P^3=500\ .$$

Answer 2

Con OP anotaciones, las raíces comunes $\alpha,\beta$ debe satisfacer la ecuación cuadrática que resulta de restar los dos cúbicas: $\,b x^2 - ax + 40 = 0\,$. Entonces por Vieta de las fórmulas de $\,P = \alpha \beta = \cfrac{40}{b}\,$.

De nuevo por Vieta, el 3er raíz de la 2ª cúbico es $\,\gamma' = -\cfrac{50}{\alpha \beta} = -\cfrac{5}{4} \,b\,$. Sustituyendo en la ecuación:

$$ -\frac{125}{64} \,b^3 + b \cdot \frac{25}{16} \,b^2 + 50 = 0 \quad\ffi\quad \cfrac{25}{64} \,b^3 = 50 \quad\ffi\quad b^3 = 128 $$

Por lo tanto,$P^3 = \cfrac{40^3}{b^3}=\cfrac{512\cdot125}{128}=500\,$.

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[ EDITAR ] Las siguientes respuestas @JeanMarie interesante cuestión de si dichos polinomios de hecho existen, que satisfagan la condición dada.

La respuesta anterior demostró que $b^3 = 128 \iff b=4\sqrt[3]{2}$. A continuación, girar de nuevo a la 1ª ecuación, su 3er raíz debe ser $\gamma = -\cfrac{10}{P}=-\cfrac{1}{4}b=-\sqrt[3]{2}$. Sustituyendo $\gamma$ en la 1ª ecuación da $a = 4 \sqrt[3]{4}$. Entonces las dos ecuaciones se determina que:

$$ \begin{cases} \begin{align} x^3 + 4 \sqrt[3]{4} \,x + 10 & = 0 \\ x^3 + 4 \sqrt[3]{2} \,x^2 + 50 & = 0 \end{align} \end{casos} $$

Es sencillo comprobar que, de hecho, tiene el cuadrática $ x^2 - \sqrt[3]{2}\,x + 5 \sqrt[3]{4}$ as a common factor, so they have the two common roots $ (1 \pm i \sqrt{19})/\sqrt[3]{4}\,$. (Of course, their product is $P = 10 / \sqrt[3]{2}$ por lo que esto podría ser interpretado como otro, arduo camino para responder OP pregunta).

Answer 3

Pensé que era una imposibilidad que existe de estos polinomios. Pero en realidad que este no es el caso, como lo demuestra la edición @dxiv ha hecho en su respuesta.