Weil carácter enlazados a los estados que: Deje $\mathbb{F}_{q}$ ser un campo finito de tamaño $q$. Deje $\chi$ ser un multiplicativo carácter de orden $m$. Deje $f(x)$ ser un polinomio de grado $d$ tal que $f(x) \neq c . g(x)^{m}$ cualquier $c \in \mathbb{F}_{q}$$g(x) \in \mathbb{F}_{q}[x]$. Entonces $$ \left| \sum_{x \in \mathbb{F}_{q}} \chi(f(x)) \right| \leq (d-1)\sqrt{q} $$
La Hipótesis de Riemann sobre campos finitos, o más bien la Hasse-Weil obligado está preocupado por el número de puntos racionales en curvas. Para ponerlo simplemente, de nuevo, supongamos que tenemos un campo finito $\mathbb{F}_{q}$ y es absolutamente un polinomio irreducible $h(x,y)$ del total de grado $d$$\mathbb{F}_{q}$, (en una versión simple de) estados que $$ \left| N - q \right| \leq O(d^2) \sqrt{q} $$ donde $N$ es el número de puntos racionales sobre la variedad definida por el polinomio $h$ es decir $$N = \left|\left\lbrace (a,b) \in \mathbb{F}_{q}^2 : h(a,b)=0 \right\rbrace \right|$$
Ahora si $\chi$ es la cuadrática de caracteres definido por $\chi(a) = (\frac{a}{q})$ donde $(\frac{a}{q})$ es el símbolo de Legendre (si $a$ es cuadrática de los residuos o no el modulo $q$), entonces a partir de la $\chi$ tiene sólo 1/-1 valores, es fácil ver que el número de puntos racionales de la curva de $y^2 - f(x) = 0$ puede ser utilizado para contar la suma de $\left| \sum_{x \in \mathbb{F}_{q}} \chi(f(x)) \right|$. La mayoría de las referencias se limitan a afirmar que la cuadrática carácter, y el carácter general de la suma de la enlazado son casos especiales de contar los puntos sobre las variedades y la hipótesis de Riemann. Pero, ¿cómo son los dos resultados relacionados en el caso general, donde $\chi$ ya no tiene sólo 1/-1 valores? Hay una simple correspondencia como en el cuadrática caso? Gracias.
