Demostrar $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ es uniformemente continua en a $\mathbb{R}$

Question

Demostrar $f(x) =\frac{1}{1+x^2}$ es uniformemente continua en a $\mathbb{R}$.
Mi intento...

Prueba

$$\left| f(x) - f(y) \right| = \left| \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+y^2}\right| = \frac{\left|x+y\right|}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\left|x-y\right| $$

Por la desigualdad de triángulo

$$\frac{\left|x+y\right|}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\left|x-y\right| \leq \left(\frac{\left|x\right|}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)} +\frac{\left|y\right|}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)} \right) \left|x-y\right| \tag{$\estrella de$}$$

Tenga en cuenta que para todas las $x\in \mathbb{R}$

$$\left|x\right| < 1 +x^2 \implies \left|x\right| < \left(1 +x^2\right)\left(1+y^2\right)$$

Por lo tanto

$$\frac{\left|x\right|}{\left(1 +x^2\right)\left(1+y^2\right)} \leq 1$$

La aplicación de este hecho a $(\star)$ vemos que

$$\left(\frac{\left|x\right|}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)} +\frac{\left|y\right|}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)} \right) \left|x-y\right| \leq \left(1 + 1\right)\left|x-y\right| \leq 2\left|x - y \right|$$

Por lo tanto, $f$ es una función de Lipschitz, lo que implica $f$ es uniformemente continua en a $\mathbb{R}$.

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Por favor, comentar sobre la validez y/o mejorar la legibilidad, gracias.

Answer 1

De Lipschitz-la continuidad implica uniforme de continuidad, no podemos estar en desacuerdo en que.
Por otro lado hay un poco más eficiente manera de demostrar que $|f'|$ son los siguientes: $$ f'(x) = f(x)\cdot \frac{d}{dx}\log f(x) = \frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{-2x}{1+x^2}$$ donde $\left|\frac{1}{1+x^2}\right|\leq 1$ es trivial y $\left|\frac{2x}{1+x^2}\right|\leq 1$ sólo un poco menos (AM-GM), por lo $|f'|\leq 1$.
Mediante el promedio ponderado de AM-GM desigualdad contamos con la mejor enlazado $|f'|\leq\frac{3}{8}\sqrt{3}$.

Answer 2

Aplicar media teorema del valor en un intervalo de $[x,y], x,y\in \mathbb R$. Por eso, $\exists \xi \in [x,y]: f(x)-f(y)=f'(\xi)(x-y)$. También sabemos que $|f'(\xi)|<1$.

Answer 3

Gran Sugerencia: Utilice este y el hecho de que $\vert f'(x)\vert <1$.