Núcleo de la diagonal homorphism $f:B\otimes_A B\rightarrow B$

Question

Estoy estudiando Hartshorne de la Geometría Algebraica libro, y en la observación 8.9.2 lo he comprendido todo, además de un detalle que me molesta.

Él toma $U=SpecA\subset Y$, e $V=Spec B\subset X$ donde $X$ $Y$ son los esquemas, y un mapa de la $g:X\rightarrow Y$, de tal manera que $g(V)\subset U$. Sé que $V\times_U V$ es isomorfo a $Spec(B\otimes_A B)$. Pero luego afirma que $\Delta(X)\cap (V\otimes_U V)$ está definido por el núcleo de la diagonal de morfismos $f:B\otimes_A B\rightarrow B$, $f(b\otimes b')=bb'$, yo no puedo ver cómo mostrar esta última parte.

Sé que el núcleo de este mapa es $kerf=\{\sum a_{ij}b_i\otimes b_j|\sum a_{ij}b_ib_j=0 \}$, pero no puedo ver lo que sucede en la Especificación.

Gracias de antemano.

Answer 1

$\require{begingroup}\begingroup\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}$¿Te acuerdas de que en la Proposición II.4.1 Hartshorne dice que la diagonal mapa

$$ \Delta : \Spec B \to \Spec B \times_{\Spec A} \Spec A = \Spec(B \otimes_A B) $$

está cerrado debido a la mapa $B \otimes_A B \to B$ definido por $b \otimes b' \mapsto bb'$ es surjective?

Bien, ¿qué significa para un mapa para ser cerrado? Esto significa que usted tiene un cerrado subscheme. Por la Proposición II.5.9 sabemos que cierra subschemes corresponden a ideal sheafs. En particular, para afín anillo homomorphisms, una cerrada subscheme corresponde a un surjective mapa y la correspondiente ideal gavilla es el núcleo de este mapa.

Así que hay que ir. La diagonal en el interior de $V \times_U V$ es el cierre subscheme determinado por el núcleo de el mapa de $b \otimes b' \mapsto bb'$. $\endgroup$