¿Cómo podemos derivar la expresión de la $e^x$$e$?

Question

Tratando de ir en orden histórico aquí y empezar de Bernoulli la formulación de $e$:

$$e = \lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n$$

¿Cómo podemos entonces dar el salto a la

$$e^x = \lim_{n \to \infty} (1 + x/n)^n$$

Yo había tratado de hacer esto:

$$e^x = (\lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n)^x$$

$$e^x = \lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^{nx}$$

Deje $m = nx$$n = m/x$. Como $n$ va al infinito, $m$ también se extiende hacia el infinito, de modo que:

$$e^x = \lim_{m \to \infty} (1 + x/m)^{m}$$

aunque podríamos etiquetar de nuevo con $n=m$ acabo de uso $m$ a utilizar uno diferente)

Pero me dijeron que me estoy saltando muchas hipótesis no comprobadas de hacer esto. ¿Hay una manera fácil de probar lo que me falta o hay una manera más fácil para llegar al resultado?

Answer 1

En lo que sigue, $n$ denota un entero positivo. Este es un ejemplo típico el uso convencional de símbolo $n$.

El uso de un poco de álgebra se puede demostrar que $$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}\tag{1}$$ where $x$ is rational and $e$ is defined by $$e=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\tag{2}$$ Let's first assume that $x$ is a positive integer and then $$\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=\left(\frac{n+x} {n} \right) ^n=\prod_{k=1}^{x}\left(\frac{n+k}{n+k-1}\right)^n\\=\prod_{k=1}^{x}\left(1+\frac{1}{n+k-1}\right)^{n+k-1}\left(1+\frac{1}{n+k-1}\right)^{1-k}$$ The first factor in the product on right tends to $e$ and second factor tends to $1$ so that the desired limit is $\prod_{k=1}^{x}e=e^x$. If $x=-y$ is a negative integer then we have $$\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=\prod_{k=1}^{y}\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{1}{n-k}\right)^{n-k}\left(1+\dfrac{1}{n-k}\right)^{k}}$$ and thus the desired limit is $1/e^{y}=e^x$.

Para $x=0$ el resultado es evidente y por lo tanto hemos establecido $(1)$ al $x$ es un número entero. Si $x$ es un número racional decir $p/q$ donde $p$ es un número entero y $q$ es un entero positivo, entonces $$\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=\sqrt[q]{\left(1+\frac{p}{qn}\right)^{qn}}$$ which tends to $\sqrt[q]{e^{p}} =e^x$ and our proof is complete. This step involves the continuity of function $f(t) =t^{1/q}$ y debe estar disponible para usted ya (esto también puede ser demostrado mediante algunos manipulación algebraica).

Para irracional $x$ necesitamos una definición de exponentes irracionales y la prueba de ello depende el elegido definición. El resultado se mantiene incluso cuando se $x$ es un número complejo, pero la prueba requiere un poco diferentes herramientas (pero de nuevo limitada básicas de manipulación algebraica).

Answer 2

En primer lugar, observe que para $y\in \mathbb{R}\quad y\to +\infty$ $y\in(n,n+1)$

$$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n=\frac{ \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} }{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}\le\left(1+\frac{1}{y}\right)^y\le\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)$$

así, por el teorema del sándwich

$$\left(1+\frac{1}{y}\right)^y\to e$$

Es fácil ver que el mismo límite sostiene también para $y\in \mathbb{R}\quad y\to -\infty$.

A continuación, tenga en cuenta que $\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ fijo, ya $y=\frac{n}{x}\to \pm\infty\,$ por la continuidad y reglas algebraicas de los límites que tenemos que

$$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=\lim_{n \to \infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)^{\frac{n}x}\right]^x=\left[\lim_{y \to \pm\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}\right]^x\to e^x$$

Para $x=0 \implies e^0 = \lim_{n \to \infty} (1 + 0/n)^n=1$.

Así, la identidad tiene $\forall x\in\mathbb{R}$.

Answer 3

Dado $$ n \in \mathbb N \quad x,r \in \mathbb R \quad 0<y \in \mathbb R $$

tenemos $$ e = \mathop {\lim }\limits_{n\, \\, \infty } \left( {1 + {1 \over n}} \right)^{\n} = \mathop {\lim }\limits_{x\, \\, \infty } \left( {1 + {1 \over x}} \right)^{\,x} $$ y, a continuación, $$ \eqalign{ & e^{\,y} = \mathop {\lim }\limits_{x\, \\, \infty } \left( {1 + {1 \over x}} \right)^{\,x\,y} = \mathop {\lim }\limits_{x\, \\, \infty } \left( {1 + {y \over {x\,y}}} \right)^{\,x\,y} = \mathop {\lim }\limits_{x\,y\, \\, \infty } \left( {1 + {y \over {x\,y}}} \right)^{\,x\,y} = \cr & = \mathop {\lim }\limits_{i\, \\, \infty } \left( {1 + {y \sobre r}} \right)^{\r} \cr} $$

y también $$ \eqalign{ & e^{\, - y} = {1 \over {\mathop {\lim }\limits_{x\, \\, \infty } \left( {1 + {1 \over x}} \right)^{\,\,x\,y} }} = \mathop {\lim }\limits_{x\, \\, \infty } \left( {1 - {1 \over {1 + x}}} \right)^{\,\,x\,y} = \mathop {\lim }\limits_{x\, \\, \infty } \left( {1 - {1 \over {1 + x}}} \right)^{\,\,\left( {1 + x\,} \right)y - y} = \cr y = {{\mathop {\lim }\limits_{1 + x\, \\, \infty } \left( {1 - {1 \over {1 + x}}} \right)^{\,\,\left( {1 + x\,} \right)y} } \over {\mathop {\lim }\limits_{1 + x\, \\, \infty } \left( {1 - {1 \over {1 + x}}} \right)^{\,\,y} }} = \mathop {\lim }\limits_{i\, \\, \infty } \left( {1 - {y \sobre r}} \right)^{\,\,r} \cr} $$