Mayor conjunto de números naturales tales que al escoger cualquiera de las tres, uno divide la suma de los otros dos?

Question

¿Cuál es el mayor conjunto de números naturales tal que:

• no hay ningún número que divide a cualquier otro
• elija cualquiera de los tres números, uno de los tres divide la suma de los otros dos

Encontrado este problema en el desconcierto.SE (fuente) y decidió pedir aquí después de jugar un poco con ella.

Edit: yo era capaz de encontrar ejemplos de conjuntos de tamaños de $\le6$, con una búsqueda por fuerza bruta, tales como:

$\{2, 3, 5, 7, 107, 10693\},\{2, 3, 5, 7, 193, 3467\},\{2, 3, 5, 7, 317, 31693\},\dots$
$\{2, 3, 5, 13, 107, 10267\},\{2, 3, 5, 13, 127, 17267\},\{2, 3, 5, 13, 497, 47707\},\dots$
$\{2, 3, 5, 17, 73, 13867\},$ $\{2, 3, 5, 17, 97, 14353\},\{2, 3, 5, 17, 607, 89833\},\dots$
$\{2, 3, 7, 11, 235, 26309\}, \{2, 3, 7, 11, 437, 60295\}, \{2, 3, 7, 11, 697, 78053\}, \dots$

Pero yo no era capaz de ampliar alguna de estas tan lejos a siete elementos.

Actualización: Parece que este hilo vinculado en los comentarios por Arnaud Mortier contiene una prueba.

Answer 1

Aquí es una prueba de que n=6.

Sólo voy a reproducir las declaraciones de los sucesivos lemas utilizados en la prueba.

Deje $S$ ser un conjunto de satisfacer las condiciones del problema.

• Lema 1: Existen en la mayoría de los dos números en $S$.
• Lema 2: Si $x_i>x_j,x_k$ de toda la mentira en $S$, $x_i|x_j+x_k$ si y sólo si $x_i=x_j+x_k$.
• Lema 3: Si hay dos números en $S$, el mayor número es el elemento maximal en $S$.
• Lema 4: Si no existe un trabajo conjunto con $n$ elementos, existe un trabajo conjunto con $n$ elementos que contiene $2$.
• Lema 5: $\sharp S=7$ implica que el $S$ no puede contener $2$.