Monstruo de los coeficientes de

Question

Para los tres caracteres irreducibles de $\phi,\psi,\rho$ de un grupo finito $G$ definir la Kronecker multiplicidades como: $$g(\phi\psi\rho) = \langle \phi\psi\cdot\rho\rangle $$ donde $$\langle \chi,\eta\rangle = \frac{1}{|C|}\sum_{x\in G} \chi(x)\, \overline{\eta(x)} $$ y $[\psi\cdot\rho] (x) = \psi(x) \rho(x)$ es el habitual del producto.

Estoy interesado en Kronecker multiplicidades para el Monstruo grupo $M$. Mientras que el grupo es grande, sólo hay 194 clases conjugacy.

$$(1) \qquad \max_{\phi,\psi,\rho} g(\phi,\psi,\rho)$$

$$(2) \qquad \sum_{\phi,\psi,\rho} g(\phi,\psi,\rho)$$ $$(3) \qquad \sum_{\phi,\psi,\rho} g(\phi,\psi,\rho)^2$$

Estas sumas son más de todos los triples de irreductible de los personajes, pero debido a las simetrías sólo alrededor de 1/6 de ellos necesitan ser calculadas para obtener la respuesta. Si usted puede hacer esto, también me gustaría ser curioso acerca de los caracteres específicos de la maximización de (1).

El cálculo está más allá de mi equipo álgebra habilidades, pero sé que la BRECHA tiene todo el carácter de la tabla de $M$ listo para usar.

Answer 1

En la BRECHA, simplemente puede recorrer en un triple bucle sobre $\phi,\psi,\rho$, calcular el $g$-valores y encontrar el valor máximo y la suma de los valores:

ct:=CharacterTable("M");
irrs:=Irr(ct);

m:=0; s:=0;q:=0; # max, sum, sumsquare

for rho in irrs do
  for psi in irrs do
    ten:=rho*psi; # tensor product
    for phi in irrs do
      g:=ScalarProduct(phi,ten);
      if g>m then m:=g;fi;
      s:=s+g;
      q:=q+g^2;
    od;
  od;
od;

Después de mirar a los valores de m, sy q. A menos que me haya equivocado en algo, los resultados que obtengo son (para el monstruo de grupo):

1. Máximo es $21458051228477513179513856=2^{10}\cdot281\cdot443\cdot599\cdot6571\cdot42768299767$

2. Suma es $247017097351847432984363535932$ (Gracias, @James por la corrección)

3. Suma de Cuadrados es $808017424794512875894769468067441075690144312450960558$ (ídem corregido, también errata fijo)