En una clase de introducción a la teoría de representaciones curso (grupos finitos y asociativa inicial álgebras), se utiliza comúnmente usado un algebraicamente cerrado campo de característica 0, y más a menudo que esto era sólo para ser llevado a $\mathbb{C}$, en lugar de $\bar{\mathbb{Q}}$. ¿Esto es solo para estudiantes de la facilidad, o hay resultados en decir, finito grupo de teoría de la representación que el uso de la extra de estructura analítica de $\mathbb{C}$?
Respuesta
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Para grupos finitos, no hace ninguna diferencia. Por ejemplo, cualquier representación de un determinado grupo de más de $\mathbb{C}$ es obtenido mediante la adopción de uno más de $\overline{\mathbb{Q}}$ y sólo tensoring a a $\mathbb{C}$ (o, más concretamente, usted siempre puede elegir una base para que todos sus matrices tienen entradas en $\overline{\mathbb{Q}}$).
Para obtener más general de la teoría de la representación, sin embargo, la estructura analítica de $\mathbb{C}$ es importante. Por ejemplo, una importante generalización de la teoría de representaciones de grupos finitos es la teoría de la representación de topológicos compactos grupos, donde se requiere la representación continua. La teoría de la representación de grupos compactos de más de $\mathbb{C}$ es formalmente muy similar a la teoría de representaciones de grupos finitos (que son, por supuesto, un caso especial), pero con el $\overline{\mathbb{Q}}$ no hay una buena topología para obtener una teoría similar.
