Números escritos en ambas formas

Question

Me he encontrado con la serie OEIS A031363. Tiene esta descripción:

Números positivos de la forma $x^2+xy-y^2$; o, de la forma $5x^2-y^2$.

Así que está diciendo que todos los números que se pueden escribir en la forma $x^2+xy-y^2$ también se pueden escribir como $5x^2-y^2$.

Soy principiante en Teoría de Números, por lo que cualquier consejo o pista sobre cómo demostrarlo sería genial.

EDIT: He realizado una pequeña búsqueda en computadora y confirmé que todos los números (< 10000) que se pueden escribir en la primera forma también se pueden escribir en la segunda forma. Así que está diciendo que ambas formas son idénticas.

Answer 1

Si uno de $x$, $y$ es par, supongamos sin pérdida de generalidad que $x = 2a$. Lo mismo que dijo Bob Krueger, $x^2 + xy - y^2 = 5a^2 - (a-y)^2

Si tanto $x$ como $y$ son impares, entonces $x + y$ y $x + 3y$ son pares. Podemos verificar que $x^2 + xy - y^2 = 5\left(\frac{x + y}{2}\right)^2 - \left(\frac{x + 3y}{2}\right)^2$

Answer 2

Me parece que falta un caso en la respuesta aceptada. No veo cómo podemos tomar $x=2a$ "sin pérdida de generalidad", porque la forma $x^2+xy-y^2$ no es simétrica en $x$ e $y.$ De hecho, cuando $y=2a,$ tenemos $x^2+xy-y^2 = x^2+2ax-4a^2=2x^2-(2a-x)^2,$ y no veo cómo poner esto en la forma requerida.

Sin embargo, cuando $y$ es par, tenemos $$5\left(x-\frac{y}{2}\right)^2-\left(2x-\frac{3y}{2}\right)^2=x^2+xy-y^2,$$

por lo tanto, el teorema también es cierto en este caso.

Como señalé en un comentario en la respuesta aceptada, la identidad $$5u^2-v^2=(3u-v)^2+(3u-v)(v-u)-(v-u)^2$$ establece la relación inversa.