$x^2+y^2=1$ encontrar el mínimo/máximo de $(3x+2y)^2+(x+2y)^2$

Question

He estado intentando resolver este problema,

Para $x, y \in \mathbb{R}$ tal que $x^2+y^2=1$ encuentre el valor mínimo y máximo de $$(3x+2y)^2+(x+2y)^2$$

Hay muchas formas de resolver este problema, por ejemplo

• Trigonometría (sustituya $x = \sin\theta, y = \cos\theta, \theta\in\left[0, 2\pi\right)$ )

• Multiplicadores de Lagrange

• Resolver para $y$ y conectarla a la expresión deseada y diferenciarla.

• Si dejamos que la expresión deseada sea igual a alguna constante $k$ es una elipse, por lo tanto, utilice la transformación lineal para rotar y encontrar los valores de $k$ tal que la elipse se circunscribe dentro/fuera del círculo

Usando trigonometría, descubrí que la respuesta es min: $9-\sqrt{65}$ máx: $9+\sqrt{65}$ .

Pero este problema surgió en realidad en un álgebra libro de texto (sin relación con el cálculo ni siquiera con el precálculo), con el tema de la Ecuaciones cuadráticas y discriminantes .

Teniendo en cuenta el contexto del libro de texto, Intento encontrar una solución utilizando discriminantes. Mi primer intento fue dejar que la expresión dada $(3x+2y)^2+(x+2y)^2 = k$ y suponer que el mínimo/máximo se producirá cuando el discriminante sea mayor o igual que $0$ . (Puesto que la ecuación debe tener raíces reales).

Así que lo que hice fue ampliar para conseguir $10x^2+16xy+8y^2=k$ Utilice $x^2+y^2=1$ para simplificar en $$2x^2+16xy+8-k=0$$ esta ecuación de $x$ debe tener raíces reales por lo que $D/4\geq0$ . $$64y^2-2(8-k)\geq0$$

Ahora estoy atrapado aquí. ¿Hay alguna forma de evitarlo? Me gustaría encontrar una solución que utilice discriminantes. Gracias de antemano.

---

Nota: Acabo de mencionar el $4$ otras formas de resolver este problema para que pueda hacer hincapié en que realmente me gustaría ver una solución utilizando discriminantes.

Además, cualquier solución sin cálculo (o con sólo los temas cubiertos hasta la escuela secundaria - tal vez -) son siempre bienvenidos.

Answer 1

Sea $$f(x,y)=(3x+2y)^2+(x+2y)^2=10x^2+16xy+8y^2.$$ Si $f(x,y)=a$ para algunos $x$ , $y$ en el círculo unitario, entonces $$f(x,y)-a(x^2+y^2)=0\tag1$$ tiene soluciones reales distintas de cero. Pero si $(1)$ tiene una solución real distinta de cero, se puede escalar de forma que $x^2+y^2=1$ y luego $f(x,y)=a$ por ello $(x,y)$ .

Pero $$f(x,y)-a(x^2+y^2) =(10-a)x^2+16xy+(8-a)y^2.$$ Esto tiene una solución real distinta de cero si el discriminante $$16^2-4(10-a)(8-a)\ge0.$$ Resuelva esta desigualdad para $a$ para obtener los valores de $f$ en la unidad círculo.

Answer 2

$$y=10\sin^2t+16\sin t\cos t+8\cos^2t$$

Divide ambos lados por $\cos^2t$ y establece $\tan t=a$

$$(1+a^2)y=10a^2+16a+8\iff a^2(10-y)+16a+8-y=0$$ que es una ecuación cuadrática en $y$

Por lo tanto, el discriminante debe ser $\ge0$

$$\implies16^2\ge4(10-y)(8-y)\iff(y-9)^2\le64+1\iff-\sqrt{65}\le y-9\le\sqrt{65}$$

Answer 3

Sustituyendo con funciones trigonométricas da, $$y=10\sin^2t + 16\sin t\cos t+8\cos^2t$$ Utilizar la identidad $\sin^2x+\cos^2x=1$ se simplifica en $$y=8 + 2\sin^2t + 16\sin t \cos t$$ Utiliza la fórmula del doble ángulo $\sin{2x}=2\sin x \cos x$ y la fórmula del semiángulo $\sin^2t = \frac{1-\cos{2t}}{2}$ . $$y=9+8\sin 2t-\cos 2t$$

Ahora, $$y = 9+\sqrt{65}\left(\frac{8}{\sqrt{65}} \sin 2t - \frac{1}{\sqrt{65}} \cos 2t\right)$$ $$y=9+\sqrt{65} \sin{(2t-\alpha)}$$ donde $\cos\alpha=8/\sqrt{65}, \sin\alpha=1/\sqrt{65}$

Así, el máximo es $9+\sqrt{65}$ El mínimo es $9-\sqrt{65}$ .