Es hiperbólica de rotación realmente una rotación?

Question

Definimos un $2\times 2$ Givens matriz de rotación como:

$${\bf G}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) &\cos(\theta) \end{bmatrix}.$$

Por otro lado, se define un $2\times 2$ hiperbólico matriz de rotación como:

$${\bf H}(y)=\begin{bmatrix} \cosh( y) & \sinh( y) \\ \sinh( y) &\cosh( y) \end{bmatrix}.$$

No veo por qué no hacer que califica la matriz ${\bf H}$ como una rotación!

Supongamos que tomamos un 2-D de vectores $x=[-3, 1]^T$ y nosotros lo transformamos el uso de ${\bf G}(\theta), \theta = 0,\dots, \pi/2$, e ${\bf H}, y = -2,\dots, 2.5$. Consulte a continuación para ver el resultado.

Para mí la rotación de Givens claramente gire el punto inicial de todo el punto de $[0,0]^T$, pero para el hiperbólico de rotación, vemos una flexión pero no una rotación, al menos no en torno a un punto fijo (he comprobado por otros puntos y es el mismo comportamiento con diferentes ángulos de flexión). me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Se puede decir que el ${\bf H}(y)$ es una rotación, no para el interior del producto $$\langle {\bf x}, {\bf y}\rangle_E = x_1y_1 + x_2y_2,$$but for the Lorentz-Minkowski product $$\langle {\bf x}, {\bf y}\rangle_L = x_1y_1 - x_2y_2.$$ In the same way that orthogonal transformations are linear maps preserving $\langle\cdot,\cdot\rangle_E$, we call the linear maps preserving $\langle \cdot,\cdot\rangle_L$ transformaciones de Lorenz.

El punto es que ${\bf H}(y)$ no es ortogonal mapa, sino una transformación de Lorentz. Se puede ver como una "rotación" de los puntos en movimiento a lo largo de hipérbolas $xy = {\rm constant}.$

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En $\Bbb R^n$, considere la posibilidad de $$\langle {\bf x},{\bf y}\rangle_L = x_1y_1+\cdots+x_{n-1}y_{n-1} - x_ny_n.$$Call ${\bf x} \neq {\bf 0}$ spacelike, timelike or lightlike if $\langle {\bf x}, {\bf x}\rangle_L$ es positivo, negativo o cero.

En la distancia Euclídea caso, llamamos a los elementos de ${\rm SO}(n,\Bbb R)$ (ortogonal de mapas con la unidad de determinante) de rotaciones (con respecto al producto interior Euclidiano). Se pueden imitar y decir que la transformación de Lorentz con la unidad determinante son las rotaciones con respecto a la de Lorentz-Minkowski producto. Usted debe ser cuidadoso en dimensiones impares, aunque. Por ejemplo, en $n=3$ transformaciones de Lorenz con la unidad determinante siempre tienen un autovector. La rotación será llamada hiperbólica (resp. elíptico, parabólico) si dicho vector propio es spacelike (resp. timelike, lightlike).

En su caso consideramos ${\bf H}(y)$ un hiperbólico de rotación de ver el avión $\Bbb R^2$ $xz$ (o $yz$) avión en $\Bbb R^3$, por lo que el autovector $(1,0,0)$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cosh y & \sinh y \\ 0 & \sinh y & \cosh y\end{pmatrix}$$es spacelike.

Answer 2

Un hiperbólico de rotación es una rotación debido a su efecto sobre hiperbólico ángulos!

Como el hecho de circular ángulos se relacionan con el área de un (circular) de la cuña, hiperbólico ángulo está relacionado con el área de un hiperbólico de la cuña:

_{(fuente: WolframAlpha)}

Justo como el punto en el círculo unitario hacer una circular en la que el ángulo de $\theta$ con el positivo de la $x$-eje está dado por $\mathbf{c}(\theta) = (\cos(\theta), \sin(\theta))$, el punto en la unidad de la hipérbola haciendo ángulo hiperbólico $u$ con el positivo de la $x$-eje está dado por $\mathbf{h}(u) = (\cosh(u), \sinh(u))$.

Y se puede comprobar:

$$ \mathbf{h}(u+v) = \mathbf{H}(u) \mathbf{h}(v) $$

para la aplicación de $\mathbf{H}(u)$ tiene el efecto de la adición de una constante hiperbólico de un ángulo de los puntos que actúa sobre.

La trama se desea realizar es la ubicación de líneas radiales que están marcados por los hiperbólico ángulo (nota: las asíntotas tienen ángulos $\pm \infty$!), y las líneas de magnitud constante debe ser el hiperbólico arcos $x^2 - y^2 = \mathrm{const}$.

(declaraciones similares pueden hacerse con las hipérbolas que se abren hacia arriba, hacia la izquierda y hacia abajo)

Answer 3

Hiperbólico rotaciones son útiles cuando se trabaja con la geometría hiperbólica, en el Minkowski hyperboloid modelo.

Plano euclidiano es representado como el conjunto de puntos de $[x,y,z]^T$ tal que $z=1$. Isometrías que no cambie la orientación son generados por rotaciones $\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ y traducciones $\left(\begin{array}{ccc}1&0&x\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)$.

La esfera está representado como el conjunto de puntos de $[x,y,z]^T$ tal que $x^2+y^2+z^2=1$. Las rotaciones no cambian, mientras que las traducciones que se sustituye por las rotaciones que afectan a $(x,z)$.

Plano hiperbólico es representado como el conjunto de puntos de $[x,y,z]^T$ tal que $x^2+y^2-z^2=-1$. Tenga en cuenta que el Minkowski hyperboloid modelo de vida en el espacio de Minkowski, por lo que las isometrías de preservar la métrica de Minkowski en lugar de la habitual de la distancia Euclídea. Las rotaciones no cambio, las traducciones son reemplazados por hiperbólico rotaciones en $(x,z)$. HyperRogue utiliza hiperbólico rotaciones para transformar las coordenadas del mundo cuando el jugador se mueve, y se siente muy natural, de hecho, para llamar rotaciones.