Puede sonar homomorphisms ser caracterizado como anillo de mapas que preimagen de cualquier ideal es un ideal?

Question

Es bien sabido que la preimagen de los ideales del anillo de homomorphism también son ideales.

Es el recíproco es cierto? I. e., deje $f:R\to S$ ser un mapa entre los anillos de $R$ $S$ s.t. $f^{-1}(I)\vartriangleleft R$ si $I\vartriangleleft S$. A continuación, se $f$ un anillo homomorphism?

Answer 1

No. Por ejemplo, la función de cualquier anillo a sí mismo que se invierte el signo de cada elemento (es decir,$f(x) = -x$) conservar los ideales, pero normalmente no es un homomorphism.

Answer 2

Usted puede hacer esto a fallar, para casi cualquier valor distinto de cero $R$ y casi cualquier valor distinto de cero $S$, tomando $$f(x)=\begin{cases} 0,&\ x=0\\ \ \\ s_0,&\ x\ne0\end{cases}$$ where $s_0$ is a nonzero fixed element of $S$,

Entonces para cualquier ideal de la pre-imagen se $\{0\}$ o $R$, dependiendo de si el ideal que contiene a $s_0$ o no.

En algunos casos de esquina $f$ puede resultar en un isomorfismo, como Eric menciona a continuación.

Answer 3

Considere la posibilidad de cualquier bijection de $\mathbb R\to\mathbb R$ que no es aditivo, pero los mapas $0$$0$. Usted podría, por ejemplo, $x\neq 1$ y de intercambio de $x$ $1$ y un mapa de todo lo demás que a sí mismo.

Claramente no se ajusta a la propiedad, ya que $f^{-1}(\{0\})=\{0\}$$f^{-1}(\mathbb R)=\mathbb R$, y esos son todos los ideales que hay.

Este mapa no es un anillo de homomorphism sin embargo, ya no preservar la identidad multiplicativa.

Este truco funciona bastante para cualquier mapa entre los anillos, excepto para algunos borde combinaciones con $\{0\}$$F_2$.