Hay una familia de distinto líneas en $\mathbb{R}^3$, de tal forma que cada línea es paralela a uno de ellos?
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CodingBytes
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Fijo $a\in\>[0,1[\>$ la ecuación $${\rho^2\over a^2}-{z^2\over 1-a^2}=1,\qquad \rho\geq0,$$ describe la mitad de una hipérbola con el foco $(1,0)$ $(\rho,z)$ meridiano halfplane. Si dejamos que estas hipérbolas girar alrededor de la $z$-eje obtenemos la familia $${x^2+y^2\over a^2}-{z^2\over 1-a^2}=1,\qquad 0<a<1,$$ de distinto hyperboloids de una hoja. Como es bien sabido cada hyperboloid lleva dos familias de líneas. Elegir en cada hyperboloid la familia va más bien hacia la izquierda con el aumento de la $z$, y el tiro en la $z$-eje. De esta manera se obtiene un dos parámetros de la familia de distinto líneas en ${\mathbb R}^3$ que contiene una línea en cada dirección horizontal.
Jetti
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Sí! Deje $A$ ser el conjunto de todas las posibles pistas en $\mathbb{R}^3$ y deje $\kappa=|A|$ ser su cardinalidad (que también es la cardinalidad de a $\mathbb R$). En otras palabras, $\kappa$ es el menor ordinal de cardinalidad $|A|$. Fijar un bijection $f\colon\kappa\leftrightarrow A$.
Por recursión transfinita construimos una línea de $l_\alpha$ $\alpha<\kappa$ tal forma que:
- la línea de $l_\alpha$ pendiente $f(\alpha)$
- dado $\alpha<\beta$ líneas $l_\alpha$ $l_\beta$ son disjuntas.
Si tenemos la línea de $l_\alpha$ todos los $\alpha<\beta$ elegimos la línea de $l_\beta$ tener pendiente $f(\beta)$ y ser distinto de todos los $l_\alpha$, $\alpha<\beta$; tal $l_\beta$ existe por el lema de abajo (con $L=\{l_\alpha\mid \alpha<\beta\}$$v=f(\beta)$).
En la final $L_\kappa=\{l_\alpha\mid \alpha<\kappa\}$ es la familia deseada.
Lema: Dado un conjunto $L$ de las líneas en $\mathbb{R}^3$ tal que $|L|<\kappa$ y un prescritos pendiente $v$ tal de que no hay ninguna línea en $L$ pendiente $v$, podemos encontrar una línea de pendiente $v$ que es distinto a todas las líneas en $L$.
Prueba: Tome cualquier avión $H$ ortogonal a $v$ y considerar las proyecciones ortogonales $p(l)$ $l$ a $H$ todos los $l\in L$. Tomar cualquier círculo $c$ $H$ y observar que cada una de las $p(l)$ intersecta $c$ en la mayoría de los $2$ puntos. Por lo tanto (por razones de cardinalidad) no debe ser un punto de $p$ $c$ que no está contenida en cualquiera de las $p(l)$$l\in L$. Ahora la línea de pendiente $v$ a través de $p$ satisface los requisitos.
