Suponga que $M^n$ $\pi_1$ finitely generado (Edit: y n>3). Elegir un generador. Vamos a construir (con cirugía) un cobordism a$M'$, lo que destruye el generador, y por inducción nos puede matar a todos los de $\pi_1$. Elegir incorporado un bucle que representa el generador, y elegir un tubular barrio del bucle. Podemos ver esto como una (n-1)-dimensional vector paquete de más de $S^1$, la normal en paquete. Desde $M$ está orientado, este es un trivial vector paquete para que podamos identificar esta tubular barrio con $S^1 \times D^{n-1}$.
Ahora construimos la cobordism. Tomamos $M \times I$, que es un cobordism de $M$ a sí mismo. A un extremo de pegamento $D^2 \times D^{n-1}$ a lo largo del borde de la pieza de $S^1 \times D^{n-1}$ a través de su integración en $M$. Esto es sólo colocar un identificador a $M \times I$. Este nuevo colector es un cobordism de $M$ $M'$donde $M'$ es sólo $M$ donde hemos hecho la cirugía a lo largo de la dada de bucle.
Un teorema de van Kampen argumento muestra que tenemos exactamente asesinado el generador dado de $\pi_1$. Repitiendo esto nos da una cobordism a un simplemente se conecta el colector.
Tenga en cuenta que es esencial que nuestros colector de la orientación. $\mathbb{RP}^2$ es un contador de ejemplo, en la no-orientado a la configuración, como todos, simplemente conectado 2-variedades son null-cobordant, sino $\mathbb{RP}^2$ no lo es.
[Yo estaba implícitamente el pensamiento de altas dimensiones. Gracias a Tim Perutz por lo que sugiere que algo estaba mal cuando n=3]
Si n=3 entonces esta es "la cirugía en la dimensión media" y es más sutil. La primera de todas las normales paquete es una orientada a 2-plano de paquete encima de la esfera, por lo que hay en el hecho de $\mathbb{Z} = \pi_1(SO(2))$ muchas maneras para trivializar el paquete (estos son normales framings). Caso omiso de esto, si usted lleva a cabo la construcción, usted verá que (hasta homotopy) M' es la unión de $M - (S^1 \times D^2)$ $D^2 \times S^1$ a lo largo de $S^1 \times S^1$. Esto puede (y lo hace) ampliar el grupo fundamental.
Sin embargo, un argumento diferente trabaja en dimensiones n=1,2,3. Las orientadas bordism grupos en esas dimensiones son todos cero (ver la entrada de la Wikipedia en cobordism), por lo que, de hecho, todo orientado a la 3-variedad es cobordant para el conjunto vacío (simplemente se conecta el colector). La forma más rápida de ver esto es probablemente un cálculo directo de los primeros homotopy grupos de la Thom espectro de MSO.
