Explicar por qué la multiplicación de obras de pastel

Question

$\dfrac ab= \dfrac cd$ es verdadera precisamente cuando $ad = bc$.

Como un ejemplo, $\frac 26 = \frac 39$ es cierto porque las $2*9 = 3*6$.

$\frac 26$ puede ser pensado como dividir un pastel en $6$ porciones iguales, a continuación, tomar dos de ellos.

Del mismo modo $\frac 39$ se refiere a la división del pastel en $9$ porciones iguales, y luego tomar las $3$ de ellos.

En este escenario en particular estoy luchando un poco para entender si las expresiones $2*9$ o $6*3$ representan significativas cantidades, como el número total de sectores en ambos pasteles etc. Agradecería cualquier ayuda. Gracias!

Answer 1

Imaginar 9 tortas con 6 piezas cada uno. Tanto de tomar 3 de 9 pasteles, o 2 piezas de cada uno de los 9 tortas resultado en 18 pedazos de pastel.

Answer 2

Supongamos que cortar la tarta en $6 \cdot 9 = 54$ rodajas, y llamar a cada uno de esos "unidad del sector". A continuación, tanto en $2 \cdot 9=3 \cdot 6$ denotar la misma cantidad de unidad de "rebanadas", que es $\dfrac{18}{54}=\dfrac{1}{3}$ del total del pastel.

Sin el pastel de analogía, sólo tenga en cuenta que el $\,\dfrac{2}{6} \color{blue}{\cdot \dfrac{9}{9}}=\dfrac{18}{54}=\dfrac{3}{9} \color{blue}{\cdot \dfrac{6}{6}}\,$.

Answer 3

Imagina 2 tortas con 18 fresas en la parte superior.

1. Tome la primera a la torta, cortar en 6, y tomar 2 rebanadas. (2/6) de Cada sector tiene 3 stawberries
2. Tome la segunda a la torta, cortar en 9 y tomar 3 rebanadas. (3/9) Cada rebanada tiene 2 fresas.

Ahora, usted tiene 9 rebanadas con 2 fresas cada uno (9∗2), y 6 rebanadas con 3 fresas cada uno (6∗3), para un total de 18 fresas por la torta

Answer 4

Cruz de multiplicación usando el pastel de álgebra es posible (y sabroso), pero un poco torpe.

Podemos leer $\frac 26 = \frac 39$ $$ \text{2 de los 6 rebanadas de pastel} = \text{3 de 9 rebanadas de pastel}.\la etiqueta{1} $$ Para llegar desde $\frac 26 = \frac 39$ $2\cdot9=3\cdot6$necesitamos multiplicar ambos lados con seis y nueve. Y queremos hacer esto en términos de las tartas!

Para multiplicar primero por seis, podemos aplicar la identidad original a seis pasteles al mismo tiempo. Tenemos $$ \text{2 de los 6 rebanadas de pastel para 6 empanadas} = \text{3 de 9 rebanadas de pastel para 6 empanadas} $$ o $\frac 26\cdot6 = \frac 39\cdot6$. Ahora podemos simplificar esto, porque $$ \text{2 de los 6 rebanadas de pastel para 6 empanadas} = \text{2 toda pasteles}. $$ En lugar de cortar cada pastel en seis pedazos, usted puede cortar su pila de seis pies seis pedazos más pequeños (cada uno con un pastel). Hemos encontrado la anulación de la ley de $\frac26\cdot6=2$.

Ahora tenemos $$ \text{2 toda pasteles} = \text{3 de 9 rebanadas de pastel para 6 empanadas} $$ y queremos multiplicar ambos lados por nueve, como haríamos de manera algebraica. Como antes, esto implica la aplicación de la misma identidad nueve veces y recuento de los postres: $$ \text{$2\cdot9$ toda pasteles} = \text{3 de 9 rebanadas de pastel para $6\cdot9$ pasteles}. $$ Necesitamos simplificar la mano derecha. Multiplicando el número de pies por seis tiene el mismo efecto que la multiplicación de la cantidad de porciones por seis en la final, por lo que $$ \text{3 de 9 rebanadas de pastel para $6\cdot9$ pasteles} = (\text{3 de 9 rebanadas de pastel de 9 pasteles})\cdot6. $$ Podemos aplicar el utilizado anteriormente la ley de pastel de cancelación a la expresión entre paréntesis para obtener $$ \text{3 de 9 rebanadas de pastel de 9 pasteles} = \text{3 empanadas}. $$ Ahora podemos concluir que $$ \text{$2\cdot9$ toda pasteles} = \text{$3\cdot6$ toda pasteles}.\la etiqueta{2} $$ En cada paso del razonamiento es reversible, por lo que (1) y (2) son equivalentes. Los números de $2\cdot9$ $3\cdot6$ no representan ningún naturales cantidad directamente; que surgen a través de manipulaciones algebraicas, si usted usa los pasteles o no.

Answer 5

La primera tarta tiene 6 piezas. Dividir cada pieza en 9 pedazos más pequeños. Entonces 2*9 representa: (número de grandes fragmentos tomados de primer pastel) * (número de piezas pequeñas en un pedazo grande de la primera circular) = (número de fragmentos pequeños de primer pastel).

Ahora hacemos lo mismo para la segunda tarta, esta vez de dividir cada uno de los 9 piezas en 6 trozos más pequeños. Así que 3*6 representa el número de pequeños fragmentos tomados de la segunda circular.

Finalmente, note que el número total de piezas pequeñas es la misma en ambos pies, es decir, por cada pie está dividido en 6*9=54 pequeños trozos iguales. Así que, suponiendo que los dos pies son del mismo tamaño, un pequeño trozo de la primera circular debe tener el mismo tamaño con un pequeño trozo de la segunda circular. Por lo tanto, si usted fuera a tomar una cantidad igual de cada pastel, usted tendría que tomar el mismo número de pequeñas piezas de cada pastel. I. e. 2*9 = 3*6.