Demostrar que $T$ tiene un conjunto mínimo y la lista de countably muchos conjuntos mínimos de $T$.

Question

Deje $X$ ser un espacio métrico compacto y deje $T:X \to X$ ser un homeomorphism.

a) Cuando decís que $T$ es mínima?

b) ¿Cuándo se dice que un subconjunto $A$ $X$ es mínima?

c)Demostrar que $T$ tiene un subconjunto mínimo.

d)Dar un ejemplo de $X$ $T$ tal que $T$ no es mínima y que tiene al menos countably muchos conjuntos mínimos. Lista contables muchos conjuntos mínimos de $T$.

Aquí un) $T$ dijo ser mínimo si $\overline{O_T(x)}=X; \forall x \in X$ donde $O_T(x)$ es de la órbita de la $x$$X$.

b) Un conjunto $A$ s".t.b mínimo si es cerrado bajo la acción de la $T$ $T|_A: A \to A$ es mínima.

Para c) necesito una prueba de verificación. c)creo $O_T(x)$ es en sí mismo un conjunto mínimo aquí. Debido a $T$ es un homeomorphism. Por eso, $O_T(x)$ es cerrado y $T|_{O_T(x)}$ es mínima.

d) pido un ejemplo aquí. No sé la respuesta.

Answer 1

Su parte c) es absolutamente correcto.

Para la parte d) considere la posibilidad de $X=\{\frac 1 n| n\in \Bbb N \}\cup \{0\}$. A continuación, considere la posibilidad de $$T:X \to X$$ such that $T(0)=0$ and $T(\frac 1 n)=\frac 1 {n+1}$. Then $T$ is not clearly minimal as $O_T(0)=\{0\}$ pero tiene contable mínimo subconjuntos. Compruebe por qué?