pregunta sobre el número primo

Question

Acaba de llegar a través de la siguiente pregunta:

Supongamos $p$ es un número primo y $p+1$ es un cuadrado perfecto. Encontrar la suma de todos los números primos.

Esto es simple y no hay una única $p$, namle $p=3$.

Ahora vienen a mi pregunta:

Supongamos $p$ es un número primo y $p+2$ es un cuadrado perfecto. Hay una cantidad infinita de tales primos $p$?

O ingeneral,

Hay una manera para determinar si existe una cantidad infinita de números primos $p$ tal que $p+a=k^2$ para algunos enteros positivos $a$$k$.

Editar: Para el caso especial en que $p$ es un número primo y que $p+b^2$ es un cuadrado perfecto, se puede probar que no hay una única solución si $2b+1$ es primo, o de lo contrario no hay ninguna solución.

Answer 1

Usted está preguntando si el polinomio $n^2 - 2$ representa infinitos números primos (es decir, si hay infinitamente muchos enteros $n$ tal que $n^2 - 2$ es primo). Este es un caso particular de Bunyakovsky de la conjetura, y se cree para ser cierto, pero no se sabe (y es, probablemente, muy difícil).