Hay dos escalas en juego aquí.
Deje $M$ ser un cerrado de Riemann colector y deje $\Delta$ ser la de Laplace-Beltrami operador.
Hay un ortonormales eigenbasis $\{\phi_k\}_{k=1}^\infty$ $L^2(M)$ y un aumento de la secuencia de autovalores $\lambda_k\geq0$, de modo que $\Delta\phi_k=-\lambda_k\phi_k$.
La pieza de un artículo que enlaza discute la ecuación del calor (y los relacionados con el rastro de calor).
Para cualquier $k$, la función de $u_k(x,t)=e^{-\lambda_kt}\phi_k(x)$ resuelve la ecuación del calor $\partial_tu=\Delta u$.
(Puede ampliar más general de la condición inicial en términos de las funciones propias y escribir una solución para la ecuación del calor como una serie de $u_k$s.)
El autovalor $\lambda_k$ determina la escala de tiempo de la decadencia de la eigenfunction $\phi_k$ en virtud de la ecuación del calor; si $\lambda_k$ es grande, $u_k\to0$ rápidamente como $t\to\infty$.
Por otro lado, $\lambda_k$ está relacionado con la magnitud de las oscilaciones de $\phi_k$.
Esto es más transparente que en el caso unidimensional $M=\mathbb R/2\pi\mathbb Z$ (el círculo unitario).
Las funciones propias son $\phi_m(x)=e^{imx}$ con autovalor $\lambda_m=m^2$.
(Aquí se $m$ rangos de $\mathbb Z$ por conveniencia. Otros valores propios de cero son degenerados.)
El número de $m^2$ describe cómo rápidamente la función de $\phi_m$ oscila, ¿verdad?
El panorama es similar en cualquier dimensión, pero generalmente es difícil encontrar explícita de funciones propias.
Es decir, cortas escalas de tiempo corresponden a larga distancia escalas (y ambas corresponden a bajos valores propios) y viceversa.
¿Esta interacción entre las dos escalas, y su relación con el Laplaciano responder a su pregunta?
