Si $(\mathcal D(A),A)$ es un operador lineal, entonces $\mathcal D(A)\subseteq\mathcal D(A^{1/2})$

Question

Deje $(H,\langle\;\cdot\;,\;\cdot\;\rangle)$ $\mathbb R$- espacio de Hilbert. Decimos que $(\mathcal D(A),A)$ es un operador lineal, si $\mathcal D(A)$ es un subespacio de $H$ $A:\mathcal D(A)\to H$ es lineal.

Suponga $(e_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathcal D(A)$ es una base ortonormales de $H$ con $$Ae_n=\lambda_ne_n\;\;\;\text{for all }n\in\mathbb N\tag 1$$ for some $(\lambda_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq(0,\infty)$ with $$\lambda_{n+1}\ge\lambda_n\;\;\;\text{for all }n\in\mathbb N\;.\tag 2$$

Vamos $\alpha\in\mathbb R$, $$\mathcal D(A^\alpha):=\left\{x\in H:\sum_{n\in\mathbb N}\lambda_n^{2\alpha}\left|\langle x,e_n\rangle_H\right|^2<\infty\right\}$$ and $$A^\alpha x:=\sum_{n\in\mathbb N}\lambda_n^\alpha\langle x,e_n\rangle_He_n\;\;\;\text{for }x\in\mathcal D(A^\alpha)\;.$$

¿Cómo podemos demostrar que $\mathcal D(A^1)\subseteq\mathcal D(A^{1/2})$?$^1$

Me gustaría probar la afirmación de la siguiente manera: Vamos a $x\in\mathcal D(A^1)$ $$\lambda_{\text{sup}}:=\sup_{n\in\mathbb N}\lambda_n\;.$$

• Caso 1: $\lambda_{\text{sup}}<\infty$ y, por tanto, $$\sum_{n=1}^N\lambda_n\left|\langle x,e_n\rangle\right|^2\le\lambda_{\text{sup}}\sum_{n=1}^N\left|\langle x,e_n\rangle\right|^2\xrightarrow{N\to\infty}\lambda_{\text{sup}}\left\|x\right\|^2\tag 3$ $ por la identidad de Parseval
• Caso 2: $\lambda_{\text{sup}}=\infty$, por lo tanto $$\lambda_n\ge 1\;\;\;\text{for all }n\ge n_1\tag 4$$ for some $n_1\in\mathbb N$ and thereby $$\sum_{n=1}^N\lambda_n\left|\langle x,e_n\rangle\right|^2\le\sum_{n=1}^{n_1-1}\left|\langle x,e_n\rangle\right|^2+\sum_{n=n_1}^n\lambda_n^2\left|\langle x,e_n\rangle\right|^2\tag 5$$ where the second sum on the right-hand side of $(4)$ is convergent for $N\to\infty$ by definition of $\mathcal D (^1)$

En ambos casos, obtenemos $x\in\mathcal D(A^{1/2})$. Sin embargo, por alguna razón, creo que mi argumentación es demasiado complicado. Hay uno más simple?

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$^1$ Tenga en cuenta que he escrita explícitamente $\mathcal D(A^1)$; no $\mathcal D(A)$. Sin embargo, debe quedar claro que $A$ puede ser extendido a $\mathcal D(A^1)$ si $\mathcal D(A)$ es un subconjunto de a $\mathcal D(A^1)$.

Answer 1

Quiere mostrar que $$ \sum_{n}\lambda_n^2|\langle x,e_n\rangle|^2 < \infty \implica \sum_n \lambda_n|\langle x,e_n\rangle|^2 < \infty. $$ Se ha asumido $0 < \lambda_{n} \le \lambda_{n+1}$ todos los $n\in\mathbb{N}$. Hay dos casos a considerar. Si $\lambda_n$ es uniformemente acotada, entonces ambas sumas son finitos para todos los $x$. El otro caso es donde$\lambda_n\rightarrow\infty$$n\rightarrow\infty$. En ese caso no existe $N$ tal que $1 \le \lambda_n$ todos los $n\ge N$, lo que obliga $\lambda_n \le \lambda_n^2$$n \ge N$. Por lo tanto, $$ \sum_{n\ge N} \lambda_n |\langle x,e_n\rangle|^2 \le \sum_{n\ge N}\lambda_n^2|\langle x,e_n\rangle|^2 < \infty \;\;\; \forall x\in\mathcal{D}(A)\\ \implica \mathcal{D}(A)\subseteq\mathcal{D}(A^{1/2}). $$

Answer 2

Podemos probar de una manera más general resultado: Deje $$\lambda_{\text{sup}}:=\sup_{n\in\mathbb N}\lambda_n\in(0,\infty]$$ como en la pregunta.

1. Si $\lambda_{\text{sup}}<\infty$, luego $$\sum_{n\in\mathbb N}\lambda_n^{2\alpha}\left|\langle x,e_n\rangle_H\right|^2\le\lambda_{\text{sup}}^{2\alpha}\sum_{n\in\mathbb N}\left|\langle x,e_n\rangle_H\right|^2=\lambda_{\text{sup}}^{2\alpha}\left\|x\right\|^2_H<\infty\tag 6$$ by Parseval's identity for all $\alpha\ge0$ and $x\in H$, i.e. $$H\subseteq\mathcal D(A^\alpha)\;\;\;\text{for all }\alpha\ge0\tag 7$$
2. De lo contrario,, $$\lambda_n\ge1\;\;\;\text{for all }n>n_1\tag 8$$ for some $ n_1\in\mathbb N_0$ and hence $$\sum_{n\in\mathbb N}\lambda_n^{2\alpha}\left|\langle x,e_n\rangle_H\right|^2\le\sum_{n=1}^{n_1}\left|\langle x,e_n\rangle_H\right|^2+\sum_{n>n_1}\lambda_n^{2\beta}\left|\langle x,e_n\rangle_H\right|^2<\infty\tag 9$$ for all $\alpha,\beta\in\mathbb R$ with $\alpha\le\beta$ and $x\in\mathcal D(A^\beta)$, i.e. $$\mathcal D(A^\beta)\subseteq\mathcal D(A^\alpha)\;\;\;\text{for all }\alpha,\beta\in\mathbb R\text{ with }\alpha\le\beta\tag{10}$$
3. En cualquier caso, $$\lambda_n^\alpha\le\lambda_1^\alpha\;\;\;\text{for all }\alpha<0\text{ and }n\in\mathbb N\tag{11}$$ and hence $$\sum_{n\in\mathbb N}\lambda_n^{2\alpha}\left|\langle x,e_n\rangle_H\right|^2\le\lambda_1^{2\alpha}\left\|x\right\|_H\tag{12}$$ by Parseval's identity for all $\alfa<0$ and $x\in H$, i.e. $$H\subseteq\mathcal D(A^\alpha)\;\;\;\text{for all }\alpha<0\tag{13}$$