Evaluar: $ \displaystyle\lim_ {h \to 0} \frac 1 h \int_ {- \infty }^ \infty g \left ( \frac x h \right )f(x) \mathbb dx$

Question

$g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ es una función continua tal que $g(x) \geq0\ , \forall x \in \mathbb R \,$ y $g(x)=0$ si $|x| \geq 1$ y $$ \int_ {- \infty }^ \infty g(t) \, \mathbb\ ,dt=1$$ $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ es una función continua. Entonces evalúa $$ \displaystyle\lim_ {h \to 0} \frac 1 h \int_ {- \infty }^ \infty g \left ( \frac x h \right )f(x)\, \mathbb dx$$

Usando la condición de $g$ está claro que $$ \displaystyle\int_ {-1}^1 g(t) \, \mathbb\ ,dt=1$$ Pero ahora el problema es cómo lo implementamos para resolver nuestro problema. Gracias.

Nota: Ans es $f(0)$

Answer 1

Simplemente sustituyendo $u=x/h$ da $$ \frac {1}{h} \int_ {- \infty }^{ \infty } g \left ( \frac {x}{h} \right )f(x)\,dx = \int_ {- \infty }^{ \infty } g(u) f(hu) \,du = \int_ {-1}^{1} g(u) f(hu) \,du $$ donde esta última igualdad se desprende de la definición de $g$ .

Dado que ambos $f$ y $g$ son continuos en el intervalo cerrado $[-1,1]$ son uniformemente continuas allí, así que podemos tirar del límite bajo la integral: $$ \lim_ {h \to 0} \frac {1}{h} \int_ {- \infty }^{ \infty } g \left ( \frac {x}{h} \right )f(x)\,dx = \lim_ {h \to 0} \int_ {-1}^{1} g(u) f(hu) \,du = \int_ {-1}^{1} g(u) \cdot\lim_ {h \to 0}f(hu) \,du$$

Finalmente, por la continuidad, $ \lim_ {h \to 0}f(hu) = f(0)$ y $$ \lim_ {h \to 0} \frac {1}{h} \int_ {- \infty }^{ \infty } g \left ( \frac {x}{h} \right )f(x)\,dx = f(0) \int_ {-1}^{1}g(u) du = f(0)$$

Answer 2

Desde $g \left (x \right )=0 $ si $ \left |x \right | \geq1 $ tenemos $$I_{h}= \int_ {- \infty }^{ \infty }g \left ( \frac {x}{h} \right )f \left (x \right )dx= \int_ {-h}^{h}g \left ( \frac {x}{h} \right )f \left (x \right )dx $$ y ahora usando el teorema del valor medio de las integrales tenemos que existe algún $c_{h} \in\left [-h,h \right ] $ de tal manera que $$I_{h}=f \left (c_{h} \right ) \int_ {-h}^{h}g \left ( \frac {x}{h} \right )dx=hf \left (c_{h} \right ) \int_ {-1}^{1}g \left (u \right )du=hf \left (c_{h} \right ) $$ por lo tanto $$ \lim_ {h \rightarrow0 } \frac {I_{h}}{h}= \lim_ {h \rightarrow0 }f \left (c_{h} \right )= \color {red}{f \left (0 \right )}$$ del teorema de la compresión y usando el hecho de que $f$ es continua.