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Question

Que $a,b,c>0$ y $a^2+b^2+c^2=3$ de satisfacción.

Demostrar que: $\dfrac{1}{a+b} +\dfrac{1}{b+c} +\dfrac{1}{c+a}\ge \dfrac{4}{a^2+7} +\dfrac{4}{b^2+7} +\dfrac{4}{c^2+7}$

Answer 1

El uso de AM-GM tenemos :

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\ge\frac{2}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}\ge\frac{4}{a+2b+c}\ge\frac{4}{\frac{a^2+1}{2}+b^2+1+\frac{c^2+1}{2}}=\frac{8}{(a^2+b^2+c^2)+4+b^2}=\frac{8}{b^2+7}$

Similar, la desigualdad está probado.