La convergencia de $a_n=(n+1)^{100}e^{-\sqrt{n}}$ $n\geq 1$

Question

La pregunta es para comprobar la Convergencia de :

$a_n=(n+1)^{100}e^{-\sqrt{n}}$ $n\geq 1$

lo que podría hacer es : $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+2)^{100}e^{-\sqrt{n+1}}}{(n+1)^{100}e^{-\sqrt{n}}}=\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{100}}{e^{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}$$

Numerador va a $1$ y el denominador tiende a infinito así, el límite podría ir a $0$

Estoy seguro de que yo no debería comprobar el límite del numerador y el denominador de manera diferente, pero yo no podría usar cualquier otra forma de proceder.

Por favor me ayude a borrar este.

Gracias :)

Answer 1

Sugerencia: si $t = \sqrt{n}$, $a_n = (t^2 + 1)^{100} e^{-t} < $. Exponenciales crecen más rápido que los polinomios de...

Answer 2

Para n suficientemente grande $(n+1)^{100}n^2\leq e^{\sqrt{n}}$

Por lo $a_n=\frac{(n+1)^{100}}{e^{\sqrt{n}}}\leq \frac{1}{n^2}$ para la gran n

Así que comparando teorema, podemos juzgar esta secuencia es la convergencia.

Answer 3

Vamos a utilizar el bastante conocido de la desigualdad, para todos los $x$, $$ 1+x\le e^x\etiqueta{1} $$ Suponga $x\gt-1$. Multiplicando ambos lados por $e^{-x}$, sustituyendo $x=t/201$, elevando ambos lados al $201^\text{st}$ de potencia, y dividiendo por $1+t/201$ rendimientos $$ (1+t/201)^{200}e^{-t}\le\frac1{1+t/201}\etiqueta{2} $$ Así, por $t\ge0$, $$ \begin{align} \left(1+t^2\right)^{100}e^{-t} &\le40401^{100}(1+t^2/40401)^{100}e^{-t}\\[3pt] &\le40401^{100}(1+t/201)^{200}e^{-t}\\ &\le\frac{40401^{100}}{1+t/201}\tag{3} \end{align} $$ La desigualdad de $(3)$ nos dice que $$ (1+n)^{100}e^{-\sqrt{n}}\le\frac{40401^{100}}{1+\sqrt{n}/201}\etiqueta{4} $$ Por lo tanto, $$ \lim_{n\to\infty}(1+n)^{100}e^{-\sqrt{n}}=0\etiqueta{5} $$

Answer 4

Para grandes valores de "n", Exp[ Sqrt[n+1] - Sqrt[n] ] tiene una expansión de Taylor que escribir
1 + 1 / (2 Sqrt[n]) + 1 / (8 n) + ...
Así, el denominador va a 1 y no a cero.
Sobre la relación de un(n+1) / a(n), para grandes valores de "n", varía en la medida en
1 - 1 / (2 Sqrt[n]) + 801 / (8 n) + ...